Question

Resolva, em Reais, apresentando o desenvolvimento, o seguinte sistema de equações logarítmicas:

c) {log[3] (x) + log[1/3] (y) = 5
log[9] (x) . log[27] (y) = -1

Solução: {(27 , 1/9) , (9 , 1/27)}

Answer 1

Adotando:
$log_3(x)=a \Rightarrow 3^a=x ~(eq1) \\ \\ log_9(x)=b \Rightarrow 9^b=x \Rightarrow 3^{2b}=x \buildrel(eq1)\over\longrightarrow 3^{2b}= 3^a \Rightarrow 2b=a \Rightarrow b= \frac{a}{2} \\ \therefore~ log_9(x)=b= \frac{a}{2} ~(eq2) \\ \\ log_{ \frac{1}{3} }(y)=c \Rightarrow ( \frac{1}{3} )^c=y \Rightarrow 3^{-c}=y ~(eq3) \\ log_{27}(y)=d \Rightarrow 27^d=y \Rightarrow 3^{3d}=y\buildrel(eq3)\over\longrightarrow 3^{3d}=3^{-c} \Rightarrow 3d=-c \\ d=- \frac{c}{3}$
$\\ \therefore~log_{27}(y)=d=- \frac{c}{3} ~(eq4)$

Montando e resolvendo o novo sistema:
$a+c=5 ~(eq5)\\ 1/2a*(-1/3c)=-1 \Rightarrow a*c=6~ \Rightarrow c=6/a~Substituindo ~em~(eq5) \\ a+c=5 \Rightarrow a+6/a=5 \Rightarrow a^2+6=5a \Rightarrow a^2-5a+6=0 \\\Delta=(-5)^2-4(1)(6)=25-24=1 \\ \sqrt{\Delta} = \sqrt{1} =1 \\ a'=(-(-5)+1)/2(1)=3 \\ a''=(-(-5)-1)/2(1)=2 \\ \\Da~(eq5){:} \\ a+c=5 \Rightarrow a'+c'=5 \Rightarrow c'=5-a'=5-3=2 \\ 1o~Solu\c{c}\~ao{:}~ a'=3~e~c'=2\\ \\ a+c=5 \Rightarrow a''+c''=5 \Rightarrow c''=5-a''=5-2=3 \\ 2o~Solu\c{c}\~ao{:}~ a''=2~e~c''=3$
$1o~Solu\c{c}\~ao{:}~ a=a'=3~e~c=c'=2\\ Substituindo~ em~(eq1) \\ 3^a=x \Rightarrow 3^a=x \Rightarrow 3^3=x \Rightarrow x=27 \\Substituindo~ em~(eq3) \\3^{-c}=y \Rightarrow 3^{-2}=y \Rightarrow y=1/9 \\ \\ 2o~Solu\c{c}\~ao{:}~ a=a'=2~e~c=c'=3\\ Substituindo~ em~(eq1) \\ 3^a=x \Rightarrow 3^a=x \Rightarrow 3^2=x \Rightarrow x=9 \\Substituindo~ em~(eq3) \\3^{-c}=y \Rightarrow 3^{-3}=y \Rightarrow y=1/27 \\ \\ \\ \\ Resposta{:}~ S=\{(x=27~e~y=1/9) ~ou~ (x=9~e~y=1/27) \}$