Question

Resolva, em Reais, a seguinte equação logarítmica:

log3 (x) + log9 (√ x) = 15/4

Answer 1

Como as bases estão diferentes, temos que colocar em apenas 1, no caso escolhi a base 3.

$log_3~x+\frac{log_3~\sqrt{x}}{log_3~9} = \frac{15}{4}\\ \\ Resolvendo:\\ \\ log_3~9 = x\rightarrow3^x = 9\rightarrow~x=2\\ \\ log_3~x+\frac{log_3~\sqrt{x}}{2} = \frac{15}{4}\\ \\ \frac{2log_3~x+log_3~\sqrt{x}}{2}=\frac{15}{4}\\ \\ 2log_3~x+log_3~\sqrt{x} = \frac{15}{2}\\ \\ Aplicando~a~propriedade:\\ \\ log_a~b+log_a~c \rightarrow~log_a~(b\cdot~c)\\ \\ 2log_3~(x\cdot~\sqrt{x}) = \frac{15}{2}\\ \\ log_3~(x^2\cdot~x^{\frac{1}{2}}) = \frac{15}{2}\\ \\ log_3~x^\frac{5}{2} = \frac{15}{2}$

$Lembrando~que:\\ \\ log_a~b = x\rightarrow~a^x=b\\ \\ 3^{\frac{15}{2}} = x^{\frac{5}{2}}\\ \\ 3^{3\frac{5}{2}} = x^{\frac{5}{2}}\\ \\ 3^3 = x\\ \\ \large\boxed{{x = 27}}$