Question

Resolva, em Reais: a) O sistema: {log0,25 (x+y) = 1
{ 2.log2 (x) + log2 (y) = 3

b) A inequação: 1/4.log ³ (x) < log ² (x)

Solução: A) S = {(2 , 2) , (1+√5 , 3-√5)}
B) S = {x pertence aos Reais tal que 0

Answer 1

Vou indicar a base dentro de colchetes.

Sistema

a1) log[0,25] (x+y) = -1 ⇒log[1/4] (x+y) = -1 ⇒(x+y)=[1/4]^(-1)⇒x+y=4⇒x=4-y


a2) 2log[2]x+log[2]y=3⇒log[2]x² +log[2]y=3⇒log[2](x² * y) = 3 ⇒

x² * y=2³⇒x² *y=8

substituindo a1  em a2    x² * y=8  ⇒(4-y)² * y = 8  ⇒(16-8y+y²)*y=8 ⇒

16y-8y²+y³=8 ⇒ y³-8-8y²+16y=0 ⇒ (y³-8)-8y(y-2)=0 ⇒(y³-2³)-8y(y-2)=0

(y-2)(y²+2y+4)-8y(y-2)=0 ⇒ (y-2)(y²+2y+4-8y)=0 ⇒(y-2)(y²-6y+4)=0

y-2=0 ⇒y=2  voltando em a1   x=4-y ⇒x=4-2 ⇒x=2   ⇒ (2,2)    ou

y²-6y+4=0   ⇒  as raízes são  3+√5    e   3-√5     (ver solução no anexo)

3+√5 não serve pois é maior que  4.

voltando com 3-√5  em a1  ⇒ x=4-y ⇒x = 4-(3-√5) = 1+√5 ⇒(1+√5,3-√5)  

Obs.: foi necessário fatorar a diferença de cubos  

Inequação

log na base  10  ( não precisa indicar a base)

(1/4)*log³ x < log² x  ⇒(1/4)*log² x*log x < log² x

como log² x >0 podemos simplificar sem alterar o sinal da desigualdade

(1/4)* log x < 1 ⇒log x < 4 ⇒ log x< log 10^4 ⇒ x < 10^4