Question

Resolva em reais a equação tg x + sec x = 1

Answer 1

Aqui você precisa se lembrar do que tg e sec significam:

$\tan(x) = \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) }$
$\sec(x) = \frac{1}{ \cos(x) }$

agora você joga esses resultados no exercício:

$\frac{ \sin(x) }{ \cos(x) } + \frac{1}{ \cos(x) } = 1$

como em soma de fração, conserva o denominador e soma o numerador, ficamos com:

$\frac{ \sin(x) + 1}{ \cos(x) } = 1$

passando o cosseno para o outro lado:

$\sin(x) + 1 = \cos(x)$

Agora você precisa se lembrar da relação fundamental trigonométrica:

${ \sin(x) }^{2} + { \cos(x) }^{2} = 1$

isolando cos(x):

${ \cos(x) }^{2} = 1 - { \sin(x) }^{2} \\ \cos(x) = \sqrt{1 - { \sin(x) }^{2} }$

com esse cos(x) isolado, você joga no que achamos anteriormente:

$\sin(x) + 1 = \cos(x) \\ \sin(x) + 1 = \sqrt{ 1 - { \sin(x) }^{2} }$

em seguida, para tirar a raiz, vou elevar os dois lado ao quadrado (eu posso fazer isso somente porque eu sei que o que está dentro da raiz dá positivo):

${( \sin(x) + 1) }^{2} = {(\sqrt{ 1 - { \sin(x) }^{2} }) }^{2} \\ { \sin(x) }^{2} + 2 \sin(x) + 1 = 1 - { \sin(x) }^{2}$

OK, agora vou isolar o seno:

${ \sin(x) }^{2} + { \sin(x) }^{2} + 2 \sin(x) + 1 - 1 = 0$

$2 { \sin(x) }^{2} + 2 \sin(x) = 0$

em seguida, eu vou dividir tudo por 2sin(x), ficando:

$2 { \sin(x) }^{2} + 2 \sin(x) = 0 \\ \sin(x) + 1 = 0 \\ \sin(x) = - 1$

Como ele quer x, basta você saber qual ângulo que seu seno resulte em -1 ( ou o arco seno de -1), que é 3π/2 radianos, ou 270°.

espero ter conseguido lhe ensinar bem

=)