Question

resolva em R as seguintes inequaçoes exponenciais ​

Answer 1

Antes vou introduzir algumas noções que usamos neste tipo de inequação:

Perceba que em uma potência que possui base maior do que 1, quanto maior o expoente, maior o resultado da potência. Consequentemente quanto menor o expoente menor o resultado da potência.

Sendo assim em uma situação $A^b<A^c$ eu posso afirmar que $b<c$ desde que $A$ seja um número maior que 1.

Perceba que uma potência que possui base entre 0 e 1, quanto maior o expoente, menor o resultado da potência, por exemplo $(0,5)^2=0,25$.

Sendo assim em uma situação $A^b<A^c$ eu posso afirmar que $b>c$ desde que $A$ seja um número entre 0 e 1.

Se tivéssemos que lidar com situação envolvendo base negativa seria consideravelmente mais complicado. Mas para nossa alegria (e pelo bom senso do seu professor) não teremos que lidar com isso.

Agora que está devidamente informado você deve compreender as seguintes soluções em R:

a) $6^{x^2+1}<6^5$

$x^2+1<5$

$x^2+1-5<0$

$x^2-4<0$

O lado esquerdo da inequação cria uma parábola com concavidade voltada para cima no gráfico (sabemos disso porque o coeficiente "a" é positivo). Este tipo de parábola cria valores negativos (menores que 0) entre as suas raízes, vamos então encontrar as raízes e o conjunto solução será todos os valores entre elas.

$x^2-4=0$

$x^2=4$

$x=$ ± $\sqrt{4}$

$x=$ ± $2$

Assim definimos o seguinte conjunto solução em R para esta inequação:

$S=\{x\in R\ |\ -2<x<2\}$

b) $\frac{1}{9}\geq 3^{x+3}$

$\frac{1}{3^2}\geq 3^{x+3}$

$3^{-2}\geq 3^{x+3}$

$-2\geq x+3$

$x+3\leq -2$

$x\leq -2-3$

$x\leq -5$

Assim definimos o seguinte conjunto solução em R para esta inequação:

$S=\{x\in R\ |\ x\leq -5\}$

c) $(0,44)^{x^2-4}\leq 1$

Todo número elevado a 0 é igual a 1, vamos nos aproveitar disso para igualar as bases dos dois lados:

$(0,44)^{x^2-4}\leq (0,44)^0$

Atenção, a base é um valor entre 0 e 1, cuidado com isso.

$x^2-4\geq 0$

O lado esquerdo da inequação cria uma parábola com concavidade voltada para cima no gráfico (sabemos disso porque o coeficiente "a" é positivo). Este tipo de parábola cria valores positivos (maiores que 0) antes da menor raiz e depois da maior raiz. Vamos então encontrar as raízes e o conjunto solução será todos os valores que estão antes da menor raiz ou depois da maior raiz (além das próprias raízes já que a inequação admite que o lado esquerdo seja igual a 0).

$x^2-4=0$

$x^2=4$

$x=$ ± $\sqrt{4}$

$x=$ ± $2$

Assim definimos o seguinte conjunto solução em R para esta inequação:

$S=\{x\in R\ |\ x\leq -2\ ou\ x\geq 2\}$

d) $\sqrt[3]{3^x}>3^x\cdot 3^8$

Aplicando as propriedade de potenciação e radiciação:

$3^{x/3}>3^{x+8}$

$\frac{x}{3}>x+8$

$x>3(x+8)$

$x>3x+24$

$x-3x>24$

$-2x>24$

$2x<-24$

$x<\frac{-24}{2}$

$x<-12$

Assim definimos o seguinte conjunto solução em R para esta inequação:

$S=\{x\in R\ |\ x<-12\}$