Question

resolva em R as seguintes equações: Vejam a imagen para entender melhor.

a) (2x)×-1=4
b)5^2×2-3x-2
c)8^×2-2=4×+1
d)5×=5x^2
e)81×+1=(1)×2
(3)

Answer 1

Caso esteja pelo app, e tenha problemas para visualizar esta resposta, experimente abrir pelo navegador:  https://brainly.com.br/tarefa/8765004

——————————

Resolver as equações exponenciais:

A ideia consiste em reescrever os dois lados como exponenciais de mesma base, e depois igualar os expoentes.

a)

•   Se for desse jeito,

$\mathsf{(2^x)^{x-1}=9}\\\\ \mathsf{2^{x(x-1)}=9}\\\\ \mathsf{2^{x^2-x}=9}$


Tomando logaritmos de base  2  dois dois lados,

$\mathsf{x^2-x=\ell og_2\,9}\\\\ \mathsf{x^2-x=\ell og_2(3^2)}\\\\ \mathsf{x^2-x=2\,\ell og_2\,3}\\\\\mathsf{x^2-x-2\,\ell og_2\,3=0}\quad\longrightarrow\quad\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{a=1}\\\mathsf{b=-1}\\\mathsf{c=-2\,\ell og_2\,3} \end{array}\right.$


$\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-2\,\ell og_2\,3)}\\\\ \mathsf{\Delta=1+8\,\ell og_2\,3}$


$\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{1+8\,\ell og_2\,3}}{2\cdot 1}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+8\,\ell og_2\,3}}{2}}\\\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{x=\dfrac{1-\sqrt{1+8\,\ell og_2\,3}}{2}}&\textsf{ ou }&\mathsf{x=\dfrac{1+\sqrt{1+8\,\ell og_2\,3}}{2}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{solu\c{c}\~oes.} \end{array}$


•   Agora, se for  4  ali no segundo membro,

$\mathsf{(2^x)^{x-1}=4}$

Reescreva  4  como  2²:

$\mathsf{2^{x(x-1)}=2^2}$


Acima temos uma igualdade entre exponenciais de mesma base. É só igualar os expoentes:

$\mathsf{x(x-1)=2}\\\\ \mathsf{x^2-x=2}\\\\ \mathsf{x^2-x-2=0}\quad\longleftarrow\quad\textsf{equa\c{c}\~ao quadr\'atica.}$


Vamos resolver usando fatoração por agrupamento. Reescreva convenientemente  – x  como  + x – 2x:

$\mathsf{x^2+x-2x-2=0}$


Fatorando,

$\mathsf{x(x+1)-2(x+1)=0}$


Colocando  x + 1  em evidência,

$\mathsf{(x+1)(x-2)=0}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{x+1=0}&\textsf{ ou }&\mathsf{x-2=0}\\\\ \mathsf{x=-1}&\textsf{ ou }&\mathsf{x=2}\quad\longleftarrow\quad\textsf{solu\c{c}\~oes.} \end{array}$

—————

b)  $\mathsf{5^{2x^2}=5^{x-2}}$

Igualando os expoentes,

$\mathsf{2x^2=x-2}\\\\ \mathsf{2x^2-x+2=0}\quad\textsf{equa\c{c}\~ao quadr\'atica.}$

$\left\{\!\begin{array}{l}\mathsf{a=2}\\ \mathsf{b=-1}\\ \mathsf{c=2} \end{array} \right.\\\\\\\\ \mathsf{\Delta=(-1)^2-4\cdot 2\cdot 2}\\\\ \mathsf{\Delta=1-16}\\\\ \mathsf{\Delta=-15<0}$


Como o discriminante  Δ  é negativo, a equação não possui solução real.

—————

c)  $\mathsf{8^{x^2-x}=4^{x+1}}$

Reescreva  8  como  2³  e  4  como 2²:

$\mathsf{(2^3)^{x^2-x}=(2^2)^{x+1}}\\\\ \mathsf{2^{3(x^2-x)}=2^{2(x+1)}}$


Igualando os expoentes,

$\mathsf{3(x^2-x)=2(x+1)}\\\\ \mathsf{3x^2-3x=2x+2}\\\\ \mathsf{3x^2-3x-2x-2=0}\\\\ \mathsf{3x^2-5x-2=0}\quad\longleftarrow\quad\textsf{equa\c{c}\~ao quadr\'atica.}$


Reescreva  – 5x  como  + x – 6x,  e fatore por agrupamento:

$\mathsf{3x^2+x-6x-2=0}\\\\ \mathsf{x(3x+1)-2(3x+1)=0}$


Colocando  3x + 1  em evidência,

$\mathsf{(3x+1)(x-2)=0}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{3x+1=0}&\textsf{ ou }&\mathsf{x-2=0}\\\\ \mathsf{3x=-1}&\textsf{ ou }&\mathsf{x=2}\\\\ \mathsf{x=-\,\dfrac{1}{3}}&\textsf{ ou }&\mathsf{x=2}\quad\longleftarrow\quad\textsf{solu\c{c}\~oes.} \end{array}$

—————

d)  $\mathsf{5^x=5^{x^2}}$

Igualando os expoentes,

$\mathsf{x=x^2}\\\\ \mathsf{x-x^2=0}$


Fatorando,

$\mathsf{x(1-x)=0}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{x=0}&\textsf{ ou }&\mathsf{1-x=0}\\\\ \mathsf{x=0}&\textsf{ ou }&\mathsf{x=1}\quad\longleftarrow\quad\textsf{solu\c{c}\~oes.} \end{array}$

—————

e)  $\mathsf{81^{x+1}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2}}$

Reescreva  81  como  3⁴  e  $\mathsf{\dfrac{1}{3}}$  como  $\mathsf{3^{-1}:}$

$\mathsf{(3^4)^{x+1}=(3^{-1})^{x^2}}\\\\ \mathsf{3^{4(x+1)}=3^{-1x^2}}$


Igualando os expoentes,

$\mathsf{4(x+1)=-x^2}\\\\ \mathsf{4x+4=-x^2}\\\\ \mathsf{x^2+4x+4=0}$


Fatorando,

$\mathsf{x^2+2x+2x+4=0}\\\\ \mathsf{x(x+2)+2(x+2)=0}\\\\ \mathsf{(x+2)(x+2)=0}\\\\ \mathsf{(x+2)^2=0}\\\\ \mathsf{x+2=0}\\\\ \mathsf{x=-2}\quad\longleftarrow\quad\textsf{solu\c{c}\~ao.}$


Bons estudos! :-)