Question

Resolva em R as seguintes equações:

a) x^2 +x^3/2 + x^4/4+x^5/8+...=1/3

b)( 1+x) +(1+x)^2 +(1+x)^3 +... = 3

c) x - x^2/4 + x^3/16 -x^4/64 +...= 4/3

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Srtwalker, que a resolução é simples.
Todas as equações da sua questão resumem-se em uma PG decrescente e infinita, cuja fórmula para encontrar a soma dos seus "n" primeiros termos é dada por:

Sn = a₁/(1-q) , como você já deverá saber, pois resolvemos uma questão que envolvia essa mesma matéria. É aquela do barbante, lembra?

Então vamos resolver cada uma das seguintes equações:

a) x² + x³/2 + x⁴/4 + x⁵/8+.... = 1/3

Note: temos aí uma PG decrescente e infinita, cuja razão é q = x/2 (note que basta multiplicarmos cada termo antecedente por "x/2" e obtemos o termo imediatamente consequente).
Assim, aplicando-se a fórmula da soma de uma PG infinita, teremos;

Sn = a₁ / (1-q) ---- substituindo-se "Sn" por "1/3" , substituindo-se "a₁" por "x²" e substituindo-se "q" por "x/2", teremops:

1/3 = x² / (1-x/2) ----- note que 1 - x/2 = (2*1 - 1*x)/2 = (2-x)/2. Assim :
1/3 = x²/(2-x)/2 ---- multiplicando-se em cruz, teremos;
(1)*(2-x)/2 = 3*x² ---- desenvolvendo, teremos:
(2-x)/2 = 3x² ---- multiplicando-se novamente em cruz, temos:
2 - x = 2*3x²
2 - x = 6x² ---- passando todo o 1º membro para o 2º, teremos:
0 = 6x² - 2 + x --- ordenando, teremos;
0 = 6x² + x - 2 ---- vamos apenas inverter, ficando:
6x² + x - 2 = 0 ------ aplicando Bháskara, você encontrará que:

x' = -2/3; e x'' = 1/2 <--- Esta é a resposta para a questão do item "a".

b) ( 1+x) +(1+x)² +(1+x)³ +... = 3

Note que aqui temos também uma PG infinita cuja razão é (1+x) e cujo primeiro termo também é "1+x). Assim, aplicando a fórmula, teremos;

Sn = a₁/(1-q) ----- substituindo-se  "Sn" por "3", substituindo-se "a₁" por (1+x) e, finalmente "q" também por (1+x), teremos:

3 = (1+x) / [1 - (1+x)] --- retirando-se os parênteses do denominador, temos;
3 = (1+x) / [1 - 1 - x]
3 = (1+x) / [0 - x] -- ou apenas:
3 = (1+x) / - x ----- multiplicando-se em cruz, teremos;
-x*3 = 1 + x
- 3x = 1 + x ----- passando-se "-3x" para o 2º membro e "1" para o 1º, temos;
- 1 = x + 3x
- 1 = 4x ---- vamos apenas inverter, ficando:
4x = - 1
x = - 1/4 <--- Esta é a resposta para a questão do item "b".

c) x - x²/4 + x³/16 -x⁴/64 +...= 4/3

Note que aqui temos duas PGs infinitas: uma formada pelos termos positivos e outra formada pelos termos negativos. Vamos ordenar, ficando assim:

x + x³/16 - x²/4 - x⁴/64 + .... = 4/3 ---- veja que ainda podemos reescrever assim:

x + x³/16 + ...  - (x²/4 + x⁴/64 + ...) = 4/3

Note que tanto numa PG como na outra, temos que a razão é: x²/16.
Então deveremos formar, para as duas PG a seguinte lei de formação:

Sn = a₁/(1-q) - [a₁/(1-q)], sendo o primeiro "a₁" igual a "x" e o segundo "a₁" igual a "x²/4". A razão (q) é a mesma (x²/16). Assim, teremos:

4/3 = (x)/(1 - x²/16) - (x²/4)/(1 - x²/16)

Note que: 1 - x²/16 = (16-x²)/16 . Assim, substituindo-se, teremos;

4/3 = (x)/[(16-x²)/16] - (x²/4)/[(16-x²)/16] ---- multiplicando-se em cruz, temos:
4*(16-x²)/16 = 3*[x - (x²/4)] ---- efetuando-se os produtos indicados:
(64-4x²)/16 = [3x - 3x²/4]

Veja que, no 2º membro: 3x-3x²/4 = (4*3x-1*3x²)/4 = (12x-3x²)/4. Assim, ficaremos com:

(64-4x²)/16 = (12x-3x²)/4 --- multiplicando-se novamente em cruz, temos:
4*(64-4x²) = 16*(12x-3x²) ---- efetuando os produtos indicados, temos:
256 - 16x² = 192x - 48x² ---- passando todo o 2º membro para o 1º, temos;
256 - 16x² - 192x + 48x² = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes e ordenando, teremos;

32x² - 192x + 256 = 0 --- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "32", com o que ficaremos apenas com:

x² - 6x + 8 = 0 ---- se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:

x' = 2 e x'' = 4.
Mas veja que se você for substituir o "x" por "4" na expressão original, vai encontrar que o denominador zerará. Então descartaremos a raiz x = 4 e ficaremos apenas com x = 2. Logo:

x = 2 <--- Esta é a resposta para a questão do item "c".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.