Question

Resolva, em R, as seguintes equações:
a) |x|^2- 4|x|=6
b) |x|^2-3|x|=10

Answer 1

Resposta:

a )  S = {   - 2 - √10 ;   2 + √10  }

b )  S = { - 5 ; 5 }

Explicação passo a passo:

a)

$|x|^2-4|x|=6$

Mudança de variável  

| x | = y

y² - 4y = 6

y² - 4y - 6 =0

Resolver a equação do 2º grau pela Fórmula de Bhascara

y = ( -b ± √Δ ) /(2a)      a ; b ; c  ∈ |R   a ≠ 0

y² - 4y - 6 =0

a = 1

b = - 4

c = - 6

Δ = ( - 4 )² - 4 * 1 * ( - 6 ) = 16 + 24 = 40

√Δ = √40 = $\sqrt{40} =\sqrt{4*10} =\sqrt{4}*\sqrt{10} =2\sqrt{10}$

y1 = ( - ( - 4 ) + 2√10 ) / ( 2 * 1 )

y1 = ( + 4  + 2√10 ) / 2

colocar 2 em evidência no numerador , para cancelar com 2 no denominador

y1 = ( 2 * ( 2 + √10 )) / 2

y1 = 2 + √10

y2 =  2 - √10  

y2 = = 2 - 3,16

y2 = - 1,16

Mudar para a variável original

Para   y1 = 2 + √10

|x| = 2 + √10

⇔

x =  2 + √10   ∨    x = - ( 2 + √10  ) = - 2 - √10

Para y2 = - 1,16

| x | = - 1,16    

Impossível. Módulo de um valor vem sempre positivo

S = {   - 2 - √10 ;   2 + √10  }

b)

$|x|^2-3|x|=10$

Mudança de variável

| x | = y

y² - 3y = 10

y² - 3y - 10 = 0

a = 1

b = - 3

c = - 10

Δ = ( - 3 )² - 4 * 1 * ( - 10 )= 9 + 40 = 49

√Δ = √49 = 7

y1 = ( - ( - 3 ) + 7 ) /( 2 * 1 )

y1 = ( 3 + 7  )/ 2

y1 = 5

y2 = ( - ( - 3 ) - 7 ) /( 2 * 1 )

y2 = ( 3 - 7 ) / 2

y2 = - 4 / 2

y2 = - 2

Mudar para a variável original

Para y = 5

| x | = 5

⇔

x = 5   ∨  x = - 5

Para y = - 2

| x | = - 2

Impossível. Módulo de um valor vem sempre positivo

S = { - 5 ; 5 }

Bons estudos.

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( * )  multiplicação         ( * )  divisão      (  |    |  )    módulo de  

(  ∨ )  ou          (  ⇔ )  equivalente

( y1 e y2 ) nomes dados às raízes das equações do 2º grau

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.