Question

Resolva em R as seguintes equações:
|2x-1|=5
|x²-4|=5
|x-1|>5
|2x-1|$\leq$5

Answer 1

A)$2x-1=\pm5$
$2x_1=6\Rightarrow x_1=3$
$2x_2=-4\Rightarrow x_2=-2$

B)$x^2-4=5$ O $5$ não pode ser negativo pois não há raiz negativa em $\mathbb{R}$
$x^2=9\Rightarrow x=\pm3$

C)$x-1=\pm5$
$x_1\ \textgreater \ 6$
$x_2\ \textgreater \ -4$

D)$2x-1\ \textless \ \pm5$
$2x_1\ \textless \ 6\Rightarrow x_1\ \textless \ 3$
$2x_2\ \textless \ -4\Rightarrow x_2\ \textless \ -2$

Answer 2

$\bullet\;\;\left|2x-1\right|=5\\ \\ 2x-1=\pm 5\\ \\ 2x=\pm 5+1\\ \\ x=\dfrac{\pm 5+1}{2}\\ \\ \begin{array}{rcl} x=\dfrac{5+1}{2}&\text{ ou }&x=\dfrac{-5+1}{2}\\ \\ x=\dfrac{6}{2}&\text{ ou }&x=\dfrac{-4}{2}\\ \\ \end{array}\\ \\ \boxed{ \begin{array}{rcl} x=3&\text{ ou }&x=-2 \end{array} }$


O conjunto solução é

$S=\left\{-2,\,3 \right \}$


$\bullet\;\;\left|x^{2}-4\right|=5\\ \\ x^{2}-4=\pm 5\\ \\ x^{2}=\pm 5+4\\ \\ \begin{array}{rcl} x^{2}=5+4&\text{ ou }&x^{2}=-5+4\\ \\ x^{2}=9&\text{ ou }&x^{2}=-1 \end{array}$


A segunda equação acima não tem solução real, pois não existe número real que elevado ao quadrado resulte em $-1$. Logo,

$x^{2}=9\\ \\ x=\pm \sqrt{9}\\ \\ x= \pm 3\\ \\ \boxed{ \begin{array}{rcl} x=3&\text{ ou }&x=-3 \end{array} }$


O conjunto solução é

$S=\left\{-3,\,3 \right \}$


$\bullet\;\;\left|x-1\right|>5\\ \\ \begin{array}{rcl} x-1<-5&\text{ ou }&x-1>5\\ \\ x<-5+1&\text{ ou }&x>5+1\\ \\ \end{array}\\ \\ \boxed{ \begin{array}{rcl} x<-4&\text{ ou }&x>6 \end{array} }$


O conjunto solução é

$S=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,x<-4\;\text{ ou }\;x>6\right. \right \}$


ou utilizando a notação de intervalos para o conjunto solução, temos

$S=\left(-\infty,\,-4 \right )\cup \left(6,\,+\infty \right )$


$\bullet\;\;\left|2x-1\right|\leq 5\\ \\ -5\leq 2x-1\leq 5$


Adicionando $1$ a todos os membros da dupla desigualdade, temos

$-5+1\leq 2x-1+1 \leq 5+1\\ \\ -4 \leq 2x \leq 6$


Dividindo todos os membros por $2$, temos

$\dfrac{-4}{2} \leq \dfrac{2x}{2} \leq \dfrac{6}{2}\\ \\ \boxed{ \begin{array}{c} -2 \leq x \leq 3 \end{array} }$


O conjunto solução é

$S=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,-2 \leq x \leq 3\right. \right \}$


ou usando a notação de intervalos para o conjunto solução, temos

$S=\left[-2,\,3 \right ]$