resolva ,em R, as inequações a seguir
a ) x.(x-2).(x+3).(4-x) ≥ 0
B ) (x²-4).(x²-3x+2).(x²+x+1)>0
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Antônio, que a resolução parece simples. Só é um pouco trabalhosa porque envolve inequação-produto. Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se para resolver, no âmbito dos Reais, as inequações a seguir:
a) x*(x-2)*(x+3)*(4-x) ≥ 0
Veja que temos aí em cima uma inequação-produto, cujo resultado terá que ser MAIOR ou IGUAL a zero. Note que temos o produto das seguintes funções: f(x) = x; g(x) = x-2; h(x) = x+3; e i(x) = 4-x.
Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações dadas. Depois, estudaremos a variação de sinais de cada uma delas em função de suas raízes. Por fim, daremos qual é o domínio (ou o conjunto-solução, o que dá no mesmo). Então teremos:
f(x) = x ---> raízes: x = 0 ---> x' = 0
g(x) = x-2 ---> raízes: x-2 = 0 ---> x' = 2
h(x) = x+3 ---> raízes: x+3 = 0 ---> x' = - 3
i(x) = 4-x ---> raízes: 4-x = 0 ---> - x = - 4 ---> x' = 4.
Agora vamos estudar a variação de sinais em função das raízes de cada uma delas. Assim teremos:
a) f(x) = x ...... - - - - - - - - - - - - - - (0) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
b) g(x) = x-2.. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (2)+ + + + + + + + + + + + + +
c) h(x) = x+3.... - - - - - (-3) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
d) i(x) = 4-x .... + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (4) - - - - - - - - - -
e) a*b*c*d.....- - - - - - - (-3)+ + + +(0)- - - - - (2)+ + + + + (4) - - - - - - - - - - -
Assim, como queremos que o resultado seja MAIOR ou IGUAL a zero, então só nos interessa onde tiver sinal de MAIS ou igual a zero no item "e" acima, que nos dá o produto de todas as equações em função de suas raízes. Logo, o domínio (ou conjunto-solução) será este:
-3 ≤ x ≤ 0 , ou: 2 ≤ x ≤ 4 ----- Esta é a resposta para a inequação-produto do item "a".
Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:
S = [-3; 0] ∪ [2; 4].
b) Agora vamos à inequação do item "b", que é esta:
(x²-4)*(x²-3x+2)*(x²+x+1) > 0.
Aqui já temos outra inequação-produto, cujo resultado deverá ser maior do que zero. Note que temos as seguintes funções: f(x) = x² - 4; g(x) = x²-3x+2; e h(x) = x²+x+1.
Vamos fazer a mesma coisa que fizemos na inequação-produto do item "a", ou seja, vamos encontrar as raízes de cada uma das equações. Depois, em função de suas raízes, estudaremos a variação de sinais. Assim teremos:
f(x) = x²-4 ---> raízes: x²-4 = 0 ---> x' = -2; e x'' = 2.
g(x) = x²-3x+2 --> raízes: x²-3x+2 = 0 ---> x' = 1; x'' = 2
h(x) = x²+x+1 --> raízes: x²+x+1 = 0 ---> note que esta equação não terá raízes reais, mas apenas raízes complexas. E considerando que o termo "a" é positivo (o termo "a" é o coeficiente de x²) então esta equação será SEMPRE POSITIVA para qualquer que seja o valor de "x".
Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma das equações em função de suas raízes:
a) f(x) = x²-4 ........... + + + + + + (-2) - - - - - - - - - - - - (2) + + + + + + + + +
b) g(x) = x²-3x+2...+ + + + + + + + + + + + (1) - - - - - - -(2) + + + + + + + + +
c) h(x) = x²+x+1.... + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
d) a*b*c............... + + + + + + + (-2)- - - - -- (1 )+ + + + +(2) + + + + + + + + +
Veja que só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no item "d" acima, que nos fornece o produto entre f(x)*g(x)*h(x). Assim, o conjunto-solução será este:
x < -2, ou 1 < x < 2, ou x > 2 ----- Esta é a resposta para a inequação-produto do item "b".
Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:
S = (-∞; -2) ∪ (1; 2) ∪ (2; +∞).
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.