Question

Resolva em R as inequações:
a) 1/(x-1) < 2/(x-2)

b) 2/(3x-1)≥ 1/(x-1) - 1/(x+1)

c) (1-2x)/(5-x).(3-x)≤0

Answer 1

a) 1(x - 2) < 2(x - 1)
x - 2 < 2x - 2
x - 2x < -2 + 2
-x < 0
x > 0

b) 2/(3x - 1) ≥ 1/(x-1) - 1/(x+1)
     2(x-1)(x+1) ≥ (3x-1)(x+1) - (3x-1)(x-1)
     2(x² + x - x + 1) ≥ (3x² + 3x - x - 1) - (3x² - 3x - x +1)
     2x² + 2 ≥ 3x² + 2x - 1 - 3x² + 4x -1
     2x² + 2 - 6x - 2 ≥ 0
     2x² - 6x > 0

x' = -(-6) + √36/2.2 = 6 + 6/4 = 12/4 = 3
x" = -(-6) - √36/2.2 = 6 - 6/4 = 0

R: 0 ≤ x ≤ 3

c) (1-2x)/(5-x)(3-x) ≤ 0
   (1-2x)/15 - 5x -3x - x² ≤ 0
  (1-2x)/15 - 8x - x² ≤ 0
  (1 - 2x) ≤ 0.(15 - 8x - x²)
  1 - 2x ≤ 0
  - 2x ≤ -1
   x ≥ 1/2

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Lucas, que a resolução é simples, embora um pouco trabalhosa.
Por isso, considerando que cada uma delas tomaria um espaço bastante grande para as respostas (pois cremos que você queira tudo bem explicado), então só iremos resolver a primeira questão. As demais, por favor, coloque-as em outras duas mensagens, para que se tenha apenas uma questão por mensagem, em virtude do espaço que será gasto com as respostas de cada uma. Quando você tiver feito isso, por favor nos informe pra que possamos tentar resolver as restantes em outras duas mensagens, certo?.

Então vamos resolver, neste espaço para a resposta, apenas a primeira inequação e que é esta:

a) 1/(x-1) < 2/(x-2) ----- vamos colocar todo o 2º membro da desigualde para o 1º membro, com o que ficaremos assim:

1/(x-1) - 2/(x-2) < 0 ----- mmc = (x-1)*(x-2) . Assim, utilizando-o apenas no 1º membro da desigualdade, teremos: (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

[(x-2)*1 - (x-1)*2]/[(x-1)*(x-2)] < 0  ----- desenvolvendo os produtos indicados, teremos:
 
[(x-2) - (2x-2)]/[x²-3x+2] < 0 ---- retirando-se os parênteses do numerador:
[x-2 - 2x+2]/(x²-3x+2) < 0 ---- reduzindo os termos semelhantes no numerador:
[-x]/(x²-3x+2) < 0 ---- ou apenas, o que é a mesma coisa:
-x/(x²-3x+2) < 0

Agora veja que ficamos com uma inequação-quociente, constituída por uma função do 1º grau no numerador, que é f(x) = - x,  e uma função do 2º grau no denominador, que é g(x) = x²-3x+2, cujo resultado da divisão de uma pela outra tem que ser negativo (<0).
Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações acima. Depois, em função de suas raízes, encontraremos a variação de sinais de cada uma delas e, finalmente, diremos qual é o conjunto-solução da inequação originalmente dada. Assim:

f(x) = - x ----> raízes: -x = 0 ---> x = 0
g(x) = x²-3x+2 ---> raízes: x²-3x+2 = 0 ---> x' = 1; x'' = 2.

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma das equações:

a) f(x) = - x ........... + + + + + + + + (0) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
b( g(x) = x²-3x+2... + + + + + + + + + + + + +(1) - - - - - - -  (2) + + + + + + + + +
c) a/b..................... + + + + + + + +(0)- - - -- (1) + + + + + + (2) - - - - - - - - - - - - -

Como queremos que a divisão de f(x) por g(x) dê menor do que zero (negativo), então só nos vai interessar onde tiver sinal de MENOS no item "c" acima, que nos dá o resultado da divisão de f(x) por g(x).
Assim, o conjunto-solução será este:

0 < x < 1 , ou x > 2 ---------- Esta é a resposta.

Se quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | 0 < x < 1 ou x > 2}.

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser apresentado do seguinte modo, o que dá no mesmo:

S = (0; 1) ∪ (2; +∞).

Veja: esta inequação (que era a mais simples) gastou todo este espaço para a resposta. Então as outras duas iriam gastar espaço ainda maior do que este e, assim, a resposta não seria nem sequer enviada, por ultrapassar o espaço máximo permitido Por isso é que estamos recomendando que as outras duas questões você às coloque em duas outras mensagens, certo?

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.