Question

Resolva em R, as equações exponenciais:


$a) \: {343}^{3x + 2 } = {49}^{2x}$
$b) \: {7}^{x \: elevado \: a \: dois - 10x + 16} = 1$
$c) \: \sqrt[5]{81 \: elevado \: a \: x = \: \sqrt{3} }$
$d) \: {9}^{x} - 4 \times {3}^{x} + 3 = 0$

Answer 1

a.

343^(3x+2) = 49^(2x)
7^(3×(3x+2)) = 7^(2×(2x))
3×(3x+2) = 2×2x
9x + 6 = 4x
5x = -6
x = -6/5

b.

7^(x^2 - 10x + 16) = 1
7^(x^2 - 10x + 16) = 7^0
x^2 - 10x + 16 = 0

(-b+-√(b^2 - 4ac))÷2a

(10+-√((-10)^2 - 4×1×16))÷2×1
(10+-√36)÷2

x' = (10+6)÷2 = 16÷2 = 8
x" = (10-6)÷2 = 4÷2 = 2

c.

5 √(81^x) = √3
5 √(3^4x) = √3
3^(4x/5) = 3^(1/2)
4x/5 = 1/2
4x×2 = 5×1
8x = 5
x = 5/8

d.

9^x - 4×3^x + 3 = 0
Não sei se está escrito corretamente, mas infelizmente esta alternativa eu não consigo resolver.

Dúvidas só comentar!

Answer 2

Olá!

$a) \: {343}^{3x + 2 } = {49}^{2x} \\ \Leftrightarrow (7^3)^{3x + 2 } = (7^2)^{2x} \\ \Leftrightarrow \cancel{7}^{9x + 6} = \cancel{7}^4x \\ \Leftrightarrow 9x + 6 = 4x \\ \Leftrightarrow 9x -4x = -6 \\ \Leftrightarrow 5x = -6 \\ \Leftrightarrow x = - \frac{6}{5}$

$b) \: {7}^{x^2 - 10x + 16} = 1 \\ \Leftrightarrow \cancel{7}^{x^2 - 10x + 16} = \cancel{7}^0 \\ \Leftrightarrow x^2 - 10x + 16 = 0 \\ \Leftrightarrow (x-8)(x-2) = 0 \\ \begin{cases} x-8 = 0 \\ x-2 = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \\ \begin{cases} x_1 = 8 \\ x_2 = 2 \end{cases}$

$c) \: \sqrt[5]{81^x} = \sqrt{3} \\ \Leftrightarrow 81^{ \frac{x}{5} } = 3^{\frac{1}{2} } \\ \Leftrightarrow (3^4)^{\frac{x}{5} } = 3^{\frac{1}{2} } \\ \Leftrightarrow \cancel{3}^{\frac{4x}{5} } = \cancel{3}^{\frac{1}{2} } \\ \Leftrightarrow \frac{4x}{5} = \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow 8x = 5 \\ \Leftrightarrow x = \frac{5}{8}$

$d) \: 9^x -4 \cdot 3^x + 3 = 0 \\ \Leftrightarrow (3^2)^x - 4 \cdot 3^x -3 = 0 \\ \Leftrightarrow (3^x)^2 -4 \cdot 3^x +3 = 0 \\ \\ \: \: \: \: \: seja: \: 3^x = y \\ \\ \Leftrightarrow y^2 -4y +3 = 0 \\ \Leftrightarrow (y-3)(y-1) = 0 \\ \begin{cases} y-3= 0 \\ y-1= 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \\ \begin{cases} y_1 = 3 \\ y_2 = 1 \end{cases}$

Voltando para a condição estabelecida , teremos:
$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 3^x = y$

$3^x = y_1 \: \: \: \: \: \: e \: \: \: \: \: \: 3^x = y_2 \\ 3^x = 3 \: \: \: \: \: \: e \: \: \: \: \: \: 3^x = 1 \\ 3^x = 3^1 \: \: \: \: \: \: e \: \: \: \: \: \: 3^x = 3^0 \\ x = 1 \: \: \: \: \: \: e \: \: \: \: \: \: x = 0$



Boa interpretação!!