Question

Resolva, em R, as equações biquadradas:
a) x4 - 5x² + 4 = 0 (4 está elevando o X)
b) x4 - 4x² = 0 (4 está elevando o X)
c) 4x4 - 9x² + 2 =0 (4 está elevando o X)
d) 5x-4 - 2x-2 - 3 = 0 (-4 e -2 depois do X estão elevando o expoente)
e) 3x² * (x² - 5) = 5 - x²

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a) $x^4-5x^2+4=0$

Seja $y=x^2$:

$y^2-5y+4=0$

$\Delta=(-5)-4\cdot1\cdot4$

$\Delta=25-16$

$\Delta=9$

$y=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{3}}{2\cdot1}=\dfrac{5\pm3}{2}$

$y'=\dfrac{5+3}{2}~\Rightarrow~y'=4$

$y"=\dfrac{5-3}{2}~\Rightarrow~y=1$

Para $y=4$, temos:

$x^2=4$

$x=\pm\sqrt{4}$

$x'=2$

$x"=-2$

Para $y=1$, obtemos:

$x^2=1$

$x=\pm\sqrt{1}$

$x'"=1$

$x""=-1$

$S=\{-2,-1,1,2\}$

b) $x^4-4x^2=0$

$x^2\cdot(x^2-4)=0$

$x^2=0~\Rightarrow~x'=0$

$x^2-4=0$

$x^2=4$

$x=\pm\sqrt{4}$

$x"=2$

$x'"=-2$

$S=\{-2,0,2\}$

c) $4x^4-9x^2+2=0$

Seja $y=x^2$:

$4y^2-9y+2=0$

$\Delta=(-9)^2-4\cdot4\cdot2$

$\Delta=81-32$

$\Delta=49$

$y=\dfrac{-(-9)\pm\sqrt{49}}{2\cdot4}=\dfrac{9\pm7}{8}$

$y'=\dfrac{9+7}{8}~\Rightarrow~y'=2$

$y"=\dfrac{9-7}{8}~\Rightarrow~y"=\dfrac{1}{4}$

Para $y=2$, temos:

$x^2=2$

$x=\pm\sqrt{2}$

$x'=\sqrt{2}$

$x"=-\sqrt{2}$

Para $y=\dfrac{1}{4}$, obtemos:

$x^2=\dfrac{1}{4}$

$x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}}$

$x'"=\dfrac{1}{2}$

$x""=-\dfrac{1}{2}$

$S=\left\{-\sqrt{2},-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},\sqrt{2}\right\}$

d) $5x^{-4}-2x^{-2}-3=0$

$\dfrac{5}{x^4}-\dfrac{2}{x^2}-3=0$

$5-2x^2-3x^4=0$

$3x^3+2x^2-5=0$

Seja $y=x^2$

$3y^2+2y-5=0$

$\Delta=2^2-4\cdot3\cdot(-5)$

$\Delta=4+60$

$\Delta=64$

$y=\dfrac{-2\pm8}{2\cdot3}=\dfrac{-2\pm8}{6}$

$y'=\dfrac{-2+8}{6}~\Rightarrow~y'=1$

$y"=\dfrac{-2-8}{6}~\Rightarrow~y"=\dfrac{-5}{3}$

Para $y=1$, temos:

$x^2=1$

$x=\pm\sqrt{1}$

$x'=1$

$x"=-1$

Para $y=\dfrac{-5}{3}$, obtemos:

$x^2=\dfrac{-5}{3}$

Não há solução real

$S=\{-1,1\}$

e) $3x^2\cdot(x^2-5)=5-x^2$

$3x^4-15x^2=5-x^2$

$3x^4-15x^2+x^2-5=0$

$3x^4-14x^2-5=0$

Seja $y=x^2$:

$3y^2-14y-5=0$

$\Delta=(-14)^2-4\cdot3\cdot(-5)$

$\Delta=196+60$

$\Delta=256$

$y=\dfrac{-(-14)\pm\sqrt{256}}{2\cdot3}=\dfrac{14\pm16}{6}$

$y'=\dfrac{14+16}{6}~\Rightarrow~y'=5$

$y"=\dfrac{14-16}{6}~\Rightarrow~y"=\dfrac{-1}{3}$

Para $y=5$, temos que:

$x^2=5$

$x=\pm\sqrt{5}$

$x'=\sqrt{5}$

$x"=-\sqrt{5}$

Para $y=\dfrac{-1}{3}$, obtemos:

$x^2=\dfrac{-1}{3}$

Não há solução real

$S=\{-\sqrt{5},\sqrt{5}\}$