Question

Resolva, em R, as equações biquadradas

a) 5x⁴-20x²=0

b) x⁴- 81=0

c) x⁴- 8x²-9 =0

d) x⁴ - 2x² =0

Answer 1

Boa noite ^^.
Acho que deve ter ficado com receio por causa dos expoentes ⁴,mas relaxa, basta ou simplificar as equações colocando alguns termos em evidência ou simplismente resolver a raiz.
Vamos lá:.
a) 5x⁴-20x²=0
Dividirei toda Equação por 5x²:
Lembrando que quando se divide toda Equação por algum termo, não haverá alteração.

(÷5x²) 5x⁴-20x²=0 (÷5x²)
x²-4=0
x²=2².
Portanto ou x=+2 ou x=-2.

b) x⁴- 81=0
Simplismente isolarei o termo literal e resolverei a raiz:
x⁴=81
x⁴=3⁴
Portanto ou x=3 ou x=-3.

c) x⁴- 8x²-9 =0
Essa, um pouco mais "ousada" haha.
Utilizarei o método de completar quadrados.
Basta tentar montar um quadrado prefeito:
Lembre do produto notável:
Quadrado perfeito da diferença:
(a-b)²=a²-2ab+b²
No caso, eu vou tentar montar um quadrado desse jeito.
Concorda comigo que:
x⁴=(x²)²
8x²=2.4.x²
Agora vamos lá!
x⁴- 8x²-9 =0
(x²)²-2.4.x-9=0
Vou distanciar os dois primeiros termos do 3° termo:

(x²)²-2.4.x _______-9=0

Agora repare que temos quase nosso quadrado perfeito:
(x²)²-2.x².4 _______-9=
a² --2.a.b+b²

Perceba que temos o termos a e b, falta só o b²:
a=x²
b=4
a²=(x²)²
Portanto,para completar esse quadrado perfeito somarei o 4²,pois se b=4, então b²=4², certo?
Mas para não haver alterações no valor da Equação tenho que diminuir 4² tbm,pois somar e diminuir o mesmo número resulta em zero ok?
+x-x=0
Logo:
(x²)²-2.x².4 +(4²) -(4²) ____-9=.

Agora veja:
[(x²)²-2.x².4 +(4²)]_____-(4²)-9=0
[a²---2.a.b. +b²]
Temos o nosso quadrado perfeito!
Agora basta fatora-lo:
Como: a²-2ab+b²=(a-b)²

Portanto:
[(x²)²-2.x².4 +(4²)]=(x²-4)².
Agora vamos substituí-lo na equação:
(x²-4)² -(4²)-9=0
(x²-4)² -16-9=0
(x²-4)² -25=0
(x²-4)²=25
Agora vou simplificar tirando raiz dos dois lados da Equação:
√(x²-4)²=√5²

Nesse momento,lembre-se que o resultado pode ser negativo ou positivo,logo para garantir isso, coloquei o sinal de ± antes da raiz de 5.

√(x²-4)²=±√5²
Agora vamos que vamos:
x²-4=±5

Sendo +:
x²-4=+5
x²=9
x²=3²
Portanto ou x=3 ou x=-3.

Sendo -:
x²-4=-5
x²=-1
x=±√-1.
Portanto essa raiz não é do conjunto dos Reais.
ou x=+√-1
ou x=-✓-1

Prontinho,deu trabalho neh?
Então, são 4 raízes mesmo,essa é uma Equação do 4° grau, logo possui 4 raízes.
A diferença dessa para as outras de 4° grau que postou, é que as 4 raízes são diferentes.

d) x⁴ - 2x² =0

Para essa,basta dividir toda Equação por x²:
(÷x²) x⁴ - 2x² =0(÷x²)
x²-2=0
x²=2
x=±√2.

Portanto ou x=-√2 ou x=+√2

Espero ter ajudado :p!.