Question

Resolva em R:

a) $log(1+2^x)+x=x.log5+log6$

Answer 1

Sim, o seu erro foi aplicar a seguinte "propriedade" inexistente:

$\log(1+2^x)=\log1+\log2^x$

Não podemos simplesmente "quebrar" o log de uma soma ou subtração, este tipo de propriedade só é aplicável quando temos uma multiplicação ou divisão.

A solução desta equação é consideravelmente extensa, então senta que lá vem cálculo:

Vamos primeiro tentar colocar tudo na base 10 para sumir com estes log:

$\log(1+2^x)+x=x\cdot \log5+\log6$

$\log(1+2^x)+x=\log5^x+\log6$

$\log(1+2^x)+x=\log(6\cdot 5^x)$

$x=\log(6\cdot 5^x)-\log(1+2^x)$

$x=\log(\frac{6\cdot5^x}{1+2^x})$

$10^x=10^\log(\frac{6\cdot5^x}{1+2^x})$

Aplicamos agora a propriedade $a^{\log_{a}b}=b$ para obter:

$10^x=\frac{6\cdot5^x}{1+2^x}$

$(1+2^x)\cdot10^x=6\cdot5^x$

$10^x+20^x=6\cdot5^x$

$(2^x+4^x)\cdot5^x=6\cdot5^x$

$2^x+4^x=6$

$2^x+(2^x)^2=6$

Trocamos $2^x$ por $u$:

$u+u^2=6$

$u^2+u-6=0$

$\triangle=1^2-4\cdot 1\cdot (-6)=1+24=25$

$u_1=\frac{-1+\sqrt{25} }{2\cdot 1} =\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=2$

$u_2=\frac{-1-\sqrt{25} }{2\cdot 1} =\frac{-1-5}{2}=\frac{-6}{2}=-3$

Encontramos os dois possíveis valores de $u$, mas não é isso que queremos saber, nós queremos saber os valores de $x$, então trocamos de volta os $u$ por $2^x$:

$2^{x_1}=u_1$

$2^{x_1}=2$

$x_1=1$

$2^{x_2}=u_2$

$2^{x_2}=-3$

Não existe número real que ao elevar um número positivo o torna negativo, então $x_2\notin R$ o que não o inclui na solução pedida.

Com isso finalmente concluímos que $x=1$