Question

Resolva em R a seguinte inequação modular:
|x+1| -x+2 ≥ 0

Answer 1

Resposta: $S=\mathbb{R}.$

Explicação passo a passo:

Resolver a inequação modular

$|x+1|-x+2\ge 0$

Devemos levar em consideração que o módulo de um número real muda de sentença no zero:

$|a|=\begin{cases}~a&\quad\mathrm{se~}a\ge 0\\ -a&\quad\mathrm{se~}a<0\end{cases}$

Portanto,

$\begin{array}{l} |x+1|=\begin{cases}~x+1&\quad\mathrm{se~}x+1\ge 0\\ -(x+1)&\quad\mathrm{se~}x+1<0\end{cases}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad |x+1|=\begin{cases}~x+1&\quad\mathrm{se~}x\ge -1\\ -x-1&\quad\mathrm{se~}x<-1\end{cases} \end{array}$

Então, temos que resolver a inequação estudando os dois casos.

• Para $x\ge -1:$

A inequação fica

$\begin{array}{l} x+1-x+2\ge 0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 3\ge 0\end{array}$

A sentença acima é válida para todo $x$ real, em particular, é válida para todo $x\ge -1.$

• Para $x<-1:$

A inequação fica

$\begin{array}{l} -x-1-x+2\ge 0\\\\ \Longleftrightarrow\quad -2x+1\ge 0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2x\le 1\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\le \dfrac{1}{2}\end{array}$

Mas $x<-1\le \dfrac{1}{2},$ isto é, a sentença acima é válida para todo $x<-1.$

A solução para a inequação inicial é a união das soluções de cada caso:

$\begin{array}{l} S=(-\infty,\,-1)\cup [-1,\,+\infty)\\\\ \Longleftrightarrow\quad S=\mathbb{R}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}\end{array}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)