Question

Resolva, em R, a inequação
x^2−5x ≥ −1.
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Answer 1

Olá!

 Antes de iniciar a resolução, gostaria de salientar que devemos EVITAR multiplicar cruzado em inequações. Muitos fazem isso! Além de o assunto não ser tão simples, ainda temos essas distrações. Enfim,

$\\ \displaystyle \mathsf{\frac{x^2 - 5x}{4} \geq - 1} \\\\\\ \mathsf{\frac{x^2 - 5x}{4} + 1 \geq 0} \\\\\\ \mathsf{\frac{x^2 - 5x + 4}{4} \geq 0}$

 Agora sim!

 Como podemos notar, estamos diante de uma inequação com numerador e denominador. Devemos estudar o sinal de ambos. Veja:

NUMERADOR: devemos determinar a(s) raíz(es) da equação e estudar o sinal fazendo uso da desigualdade em questão.

Isto posto,

$\\ \mathsf{x^2 - 5x + 4 = 0} \\ \mathsf{x^2 - x - 4x + 4 = 0} \\ \mathsf{x(x - 1) - 4(x - 1) = 0} \\ \mathsf{(x - 1)(x - 4) = 0} \\ \mathsf{S = \left \{ 1, 4 \right \}}$

 
Como o numerador é uma inequação quadrática,

___+___[1]____-____[4]____+____


Daí, $\boxed{\mathsf{S_1 = \left \{ x \in \mathbb{R} ; x \leq 1 \cup x \geq 4 \right \}}}$.


 Quanto ao DENOMINADOR, é constante; então, não precisamos estudar o sinal, afinal, não irá alterar o resultado obtido no numerador.

 Logo,

$\boxed{\boxed{\mathsf{S = \left \{ x \in \mathbb{R} ; x \leq 1 \cup x \geq 4 \right \}}}}$