Question

Resolva em R a equação $\sqrt{x}$$\sqrt{x}$ 2x ao quadrado + 3 =x

Answer 1

Resposta:

A solução é $\sf{\sqrt{3}}$

Explicação passo-a-passo:

●Equações irracionais

↔Para resolver equações irracionais, devemos elevar ambos os membros ao quadrado, ou seja, o principal objectivo é eliminar a raiz.

$\sf{ \sqrt{ \sqrt{ 2x^2 +3 } }~=~ x }$

$\iff \sf{ \left( \sqrt{ \sqrt{ 2x^2 + 3} } \right)^2 ~=~x^2 }$

$\iff \sf{ \sqrt{ 2x^2 + 3}~=~x^2 }$

$\iff \sf{ (\sqrt{2x^2+3})^2~=~\left( x^2 \right)^2 }$

$\iff \sf{ 2x^2+ 3~=~x^4 }$

${\red{\mathtt{x^{4}-2x^{2}-3=0}}}$

↔Obtemos uma equação biquadrática, aplicaremos as condições para achar as respectivas raízes:

${\red{\boxed{\mathtt{ Seja ~~x^{2}~=~t}}}}$

${\mathtt{ t^{2}-2t-3~=0}}$

${\mathtt{ (t-3)(t+1)~=0}}$

${\red{\mathtt{ t_1=3~~v~~t_2=~-1}}}$

↔Achados os valores de t1 e t2 voltaremos a condição de forma a acharmos as raízes:

${\red{\boxed{\mathtt{ Seja ~~x^{2}~=~t}}}}$

${\mathtt{ x^{2}~=t_1}}$

${\mathtt{ x^{2}~=3}}$

${\red{\mathtt{ x_1~=\pm \sqrt{3}}}}$

${\mathtt{ x^{2}~=t_2}}$

${\mathtt{ x^{2}~=~-1}}$

${\mathtt{ x~=~\sqrt{-1}}}$

${\mathtt{ \red{x~~\in~~\emptyset}}}$

●As raízes da equação são:

${\red{\mathtt{ x~=-\sqrt{3}~~v~~ \sqrt{3}}}}$

↔Porém, efectuando a verifiacação, nota-se que a única solução da equação é:

${\pink{\boxed{\mathtt{ \sqrt{3}}}}}$

●Espero ter ajudado bastante! :)

Att: @JovialMassingue

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Equação irracional

$\sf{ \sqrt{ \sqrt{ 2x^2 + 3 } }~=~ x }$

Eleve ambos membros ao quadrado :

$\iff \sf{ \left( \sqrt{ \sqrt{ 2x^2 + 3} } \right) ~=~x^2 }$

$\iff \sf{ \sqrt{ 2x^2 + 3}~=~x^2 }$

Eleve novamente ambos membros ao quadrado :

$\iff \sf{ (\sqrt{2x^2+3})^2~=~\left( x^2 \right)^2 }$

$\iff \sf{ 2x^2+ 3~=~x^4 }$

Organizando a equação :

$\iff \sf{ x^4 - 2x^2- 3~=~0 }$

Seja: $\sf{ x^2~=~ k }$ Então :

$\purple{ \iff \sf{ k^2 - 2k - 3~=~0 } }$

$\iff \sf{ k^2 - 2k + 1 - 4~=~0 }$

$\iff \sf{ (k - 1)^2~=~4 }$

$\iff \sf{ k - 1~=~\pm 2 }$

$\red{ \iff \sf{ k~=~3~\vee~k~=~-1 } }$

Voltando a variável original :

$\iff \sf{ x^2~=~3 }$

$\iff \sf{ x~=~\pm\sqrt{3} }$

$\blue{ \iff \boxed{\sf{ Sol: \{-\sqrt{3} ; \sqrt{3} \} } } } \sf{\longleftarrow Resposta }$