Question

Resolva, em R, a equação:

$\frac{ {10}^{x} + {5}^{x} }{ {20}^{x} } = 6$

Solução: {-1}
Obs.: Resposta completa!

Answer 1

$\frac{10^x + 5^x}{20^x} = 6$

$\frac{(5*2)^x+5^x}{20^x} = 6$

$\frac{5^x2^x+5^x}{20^x} = 6 \\ \\ \frac{5^x(2^x+1)}{20^x} = 6 \\ \\ \frac{5^x(2^x+1)}{(5*4)^x} = 6 \\ \\ \frac{5^x(2^x+1)}{5^x4^x} = 6 \\ \\ \frac{2^x+1}{4^x} = 6 \\ \\ 2^x+1 = 6*4^x \\ \\ 2^x + 1 = 6 * (2^2)^x \\ \\ 2^x + 1 = 6 * (2^x)^2$

Vamos agora fazer uma mudança de variável. Seja $2^x = k$

Logo:

$2^x + 1 = 6 * (2^x)^2 \\ \\ k + 1 = 6k^2 \\ \\ 6k^2 - k - 1 = 0$

Vamos resolver a equação:

6k² - k - 1 = 0

Δ = (-1)² - 4(6)(-1) = 1 + 24 = 25

√Δ = 5

k₁ = [ - (-1) + 5 ] / 2(6) = 1+5 / 12 = 6/12 = 1/2 = 2⁻¹

k₂ = [ - (-1) - 5 ] / 2(6) = 1-5 / 12 = -4 / 12 = -1/3 = -3⁻¹

Logo, k = 2⁻¹ ou k = -3⁻¹

1)

$2^x = -3^{-1}$ (ABSURDO!)

2)

$2^x = 2^{-1} \\ \\ x = -1$

3)

Logo, x = -1

Conjunto solução = S = {-1}