Question

Resolva, em R, a equação $1+1/x+1/x^{2} +...+1/x^{n} +...= 5$

Answer 1

Progressão Geométrica.

Relembrando :

Sendo uma sequência do tipo $(a1, a1.q, a1.q^2, ... , a1.q^n )$ é uma P.G.

onde :

$a1 =$ primeiro termo.

$q =$ razão

$n =$ quantidade de termos

Na questão, Temos a seguinte sequência :

$1 +\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + ... + \frac{1}{x^n}+... = 5$

Vamos passar esse 1 para o outro lado da igualdade, ficando :

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} +... + \frac{1}{x^n} +... = 4$

Note que a sequência é uma P.G, onde :

$a_1 = \frac{1}{x}$

$q = \frac{1}{x}$

Perceba que a soma vai de n = 1 até n = ∞. Então temos a soma de uma P.G infinita que resulta em 4.

Podemos calcular a soma termos infinitos de uma P.G pela seguinte relação :

$S_\infty = \frac{a_1}{1-q}$

Pontuando o que já temos :

$S_\infty = 4$

$a1 = \frac{1}{x}$

$q = \frac{1}{x}$

Substituindo os respectivos valores na equação :

$S_\infty = \frac{a_1}{1-q}$

$4 = \frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}$

$4 = \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x-1}{x}}$

(divisão de frações, repete a primeira e multiplica pelo inverso da segunda).

$4 = \frac{1}{x}.\frac{x}{(x-1)}$

$4 = \frac{1}{x-1}$

$4(x-1) = 1$

$4x - 4 = 1$

$4x = 5$

$x = \frac{5}{4}$  ou  $x = 1,25$