Question

Resolva, em R, a equação modular: |x²-x-1| = |x²+1|

Answer 1

$|x^2-x-1|=|x^2+1|$

Primeiro elevamos ambos os lados ao quadrado para nos livrarmos destes módulos. Podemos fazer isso porque tanto a versão negativa quanto a versão positiva daquilo que está dentro do módulo se tornam a mesma coisa quando elevadas ao quadrado.

$(x^2-x-1)^2=(x^2+1)^2$

$x^4-x^3-x^2-x^3+x^2+x-x^2+x+1=x^4+x^2+x^2+1$

$x^4-2x^3-x^2+2x+1=x^4+2x^2+1$

$-2x^3-x^2+2x=2x^2$

$-2x^3-x^2-2x^2+2x=0$

$-2x^3-3x^2+2x=0$

Aqui podemos colocar o "x" em evidência:

$x(-2x^2-3x+2)=0$

A primeira raiz seria x=0, pois ao multiplicar a expressão dentro dos parênteses (independe do seu valor) vai resultar em 0.

$x_1=0$

As outras raízes serão os valores que vão zerar a expressão dentro dos parênteses, vamos usar Bhaskara para encontrá-las:

$\triangle=(-3)^2-4\cdot (-2)\cdot 2=9+16=25$

$x_2=\frac{3+\sqrt{25} }{2\cdot (-2)} =\frac{3+5}{-4}=\frac{8}{-4}=-2$

$x_3=\frac{3-\sqrt{25} }{2\cdot (-2)} =\frac{3-5}{-4}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}$

Assim esta equação modular assume o seguinte conjunto solução em R:

$S=\{-2,\ 0,\ \frac{1}{2}\}$