Question

Resolva detalhadamente os limites
justificando cada passo de resolução com os
fundamentos matemáticos que forem usados.
Faça o esboço do gráfico da função mostrando
o limite obtido.

Answer 1

Utilizando simplificações de algebrismos classicos, temos:

a) limite vale 3/5.

b) limite vale 3.

Explicação passo-a-passo:

a) Então temos os limites:

$\lim_{n \to -4} \frac{x^2+5x+4}{x^2+3x-4}$

Primeiramente vamos fatorar este polinômios, em função das suas raízes, que são:

$\lim_{n \to -4} \frac{(x+1)(x+4)}{(x+4)(x-1)}$

Podemos agora cortar (x+4) em cima e em baixo:

$\lim_{n \to -4} \frac{(x+1)}{(x-1)}$

Agora basta substituir x por -4:

$\lim_{n \to -4} \frac{(x+1)}{(x-1)}=\frac{(-4+1)}{(-4-1)}=\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5}$

Assim temos que este limite vale 3/5.

b) Então temos o seguinte limite:

$\lim_{n \to -\infty} \frac{\sqrt{9x^6-x}}{x^3+1}$

Vamos colocar o x elevado a 6 em evidência em cima, em x ao cubo em evidência em baixo:

$\lim_{n \to -\infty} \frac{\sqrt{x^6(9-\frac{1}{x^5})}}{x^3(1+\frac{1}{x^3})}$

Agora podemos tirar o x elevado a 6 da raíz pois a raiz dele é x ao cubo:

$\lim_{n \to -\infty} \frac{\sqrt{x^6(9-\frac{1}{x^5})}}{x^3(1+\frac{1}{x^3})}$

$\lim_{n \to -\infty} \frac{x^3\sqrt{(9-\frac{1}{x^5})}}{x^3(1+\frac{1}{x^3})}$

Podemos cortar x³em cima e em baixo:

$\lim_{n \to -\infty} \frac{\sqrt{(9-\frac{1}{x^5})}}{(1+\frac{1}{x^3})}$

Agora podemos substituir x por - infinito, e tudo que estiver sendo dividido por infinito vira 0:

$\lim_{n \to -\infty} \frac{\sqrt{(9-\frac{1}{x^5})}}{(1+\frac{1}{x^3})}$

$\frac{\sqrt{(9-\frac{1}{(-\infty)^5})}}{(1+\frac{1}{(-\infty)^3})}$

$\frac{\sqrt{(9-0)}}{(1+0)}$

$\sqrt{9}$

$3$

Assim este limite tende a 3.