Question

Resolva com completando quadrado a equação x²+8x+15=0

          Me ajudem pf!! Nao pode ser com Bhaskara

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a expressão procurada com os quadrados completados é:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \{-5,\,-3\}\:\:\:}}\end{gathered} }$

A técnica de completar quadrados é muito importante quando desejamos reescrever uma expressão do segundo grau para a forma:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - x')^{2} + k\end{gathered}$

Onde:

 $\Large\begin{cases} x' = Raiz\:de\:multiplicidade\:2\\k = Constante\:pertencente\:aos\:reais\end{cases}$

Seja a equação do segundo grau:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 8x + 15 = 0\end{gathered}$

Para começar a operação de completar quadrados, devemos passar o termo independente para o segundo membro:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 8x = -15\end{gathered}$

Agora devemos adicionar a ambos os membros da equação o quadrado da metade do coeficiente do termo de "x", ou seja:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 8x + \bigg(\frac{8}{2}\bigg)^{2} = - 15 + \bigg(\frac{8}{2}\bigg)^{2}\end{gathered}$

Resolver as operações e simplificar os cálculos:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} x^{2} + 8x + \frac{8^{2}}{2^{2}} = -15 + \frac{8^{2}}{2^{2}}\end{gathered} }$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 8x + \frac{64}{4} = -15 + \frac{64}{4}\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 8x + 16 = -15 + 16\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 8x + 16 = 1\end{gathered}$

Chegando neste ponto devemos escrever de forma fatorada o primeiro membro da equação. Desta forma, temos:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x + 4)^{2} = 1\end{gathered}$

Se o intuito da questão é resolver a equação completando quadrados, então temos:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} x +4 = \pm\sqrt{1}\end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = - 4\pm\sqrt{1}\end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = - 4 \pm1\end{gathered}$

Obtendo as raízes temos:

                           $\Large\begin{cases} x' = -4 - 1 = -5\\x'' = -4 + 1 = -3\end{cases}$

Portanto, o conjunto solução da referida equação é:

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = \{-5,\,-3\}\end{gathered}$

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