Question

Resolva cada um dos itens abaixo:
a) As séries telescópicas apresentam esse nome oriundo do fato de que na simplificação da soma, uma parcela cancela uma parcela próxima, ou seja, assim como um telescópio que encurta a enorme distância entre nossos olhos e os corpos celestes, essa propriedade encurta o caminho entre a soma inicial de muitas parcelas e o cálculo do resultado. Dessa forma, não é necessário desenvolver uma quantidade infinita de termos ou simplificar por muito tempo uma cadeia de adendos.
Use as informações acima e prove que

Answer 1

A soma infinita da série telescópica $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}}$ é igual a 1.

Séries telescópica

Como o problema apresenta, uma série telescópica é aquela que não é necessário calcular todos os termos, pois os termos intermediários se cancelam. Sendo assim, considere a série do problema, que pode ser reescrita como:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}}\\=\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{\frac{n+1}{n(n+1)}}-\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{\frac{n}{n(n+1)}}\\=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)$

Ou seja, a última sequência é o próximo termo da sequência anterior. Ao invés de somarmos até o infinito, somaremos até um valor k que será levado ao infinito no fim dos cálculos:

$\sum_{n=1}^{k}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=1-\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt3}-\dots+\frac{1}{\sqrt{k-1}}-\frac{1}{\sqrt k}$

Todos os valores intermediários se cancelam, exceto o primeiro e o último. Assim:

$\sum_{n=1}^{k}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=1-\frac{1}{\sqrt k}$

Tomando o limite de k indo ao infinito:

$\lim_{k\to\infty}\left(\sum_{n=1}^{k}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\right)=1-\lim_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt k}=1-0=1$

Portanto, concluímos que:

$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=1$

Saiba mais sobre séries telescópicas em: https://brainly.com.br/tarefa/53265013

#SPJ9