Question

Resolva cada equação a sequir a) log(×-1) + log (×-2)=1​

Answer 1

Vamos começar utilizando a propriedade do logaritmo do produto para reescrever a soma de logaritmos:

$Propriedade~logaritmo~do~produto:~~\boxed{\log_{_b}(a\cdot c)~=~\log_{_b}a~+~\log_{_b}c}\\\\\\\log\,(x-1)~+~\log\,(x-2)~=~1~~~~\Rightarrow~Aplicando~a~propriedade\\\\\\\log\left[(x-1)\cdot(x-2)\right]~=~1\\\\\\\boxed{\log\,(x^2-3x+2)~=~1}$

Agora, aplicando a definição de logaritmo, temos:

$\log\,(x^2-3x+2)~=~1\\\\\\x^2-3x+2~=~10^1\\\\\\x^2-3x+2~=~10\\\\\\x^2-3x+2-10~=~0\\\\\\\boxed{x^2-3x-8~=~0}$

Note que encontramos uma equação quadrática a partir da equação logarítmica dada. Assim, caso haja solução para a equação logarítmica, ela estará dentro do conjunto solução da equação quadrática.

O conjunto solução (raízes) da equação quadrática, que pode ser determinada via formula de Bhaskara (vou omitir os cálculos), é:

$S~=~\left\{\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}~,~\dfrac{3~-~\sqrt{41}}{2}\right\}$

Lembre que este é o conjunto solução da equação quadrática, não necessariamente da equação logarítmica, ou seja, precisamos verificar se estas raízes também atendem a equação dada no enunciado.

Para tanto, vamos utilizar as condições de existência (C.E) de logaritmos para conferir se existem os logaritmos log(x-1) e log(x-2) para os valores de "x" encontrados (raízes).  

$Seja~~\log_{_b}a~:\\\\C.E:~~~\left\{\begin{array}{ccc}b&>&1\\b&\ne&1\\a&>&0\end{array}\right$

$Verificacao~para~~x=\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}:\\\\\\~~~~~~~~\log(x-1)~~ \Rightarrow~~\log\,\left(\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}-1\right)~=~\boxed{\log\left(\dfrac{1+\sqrt{41}}{2}\right)}\\\\~~~~~~~~ O~valor~do~logaritmando~(a)~encontrado~\acute{e}~maior~que~0,~logo\\~~~~~~~~atende~\grave{a}s~C.E's$

      $\\~~~~~~~~\log(x-2)~~ \Rightarrow~~\log\,\left(\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}-2\right)~=~\boxed{\log\left(\dfrac{-1+\sqrt{41}}{2}\right)}\\\\~~~~~~~~O~valor~do~logaritmando~(a)~encontrado~\acute{e}~maior~que~0,~logo\\~~~~~~~~tambem~atende~\grave{a}s~C.E's\\\\\\~~~~~~~~Como~as~C.E's~sao~respeitadas,~temos~que~~x=\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}~\acute{e}\\~~~~~~~~tambem~raiz~da~eq.~logaritmica.$

$Verificacao~para~~x=\dfrac{3-\sqrt{41}}{2}:\\\\\\~~~~~~~~\log(x-1)~~ \Rightarrow~~\log\,\left(\dfrac{3-\sqrt{41}}{2}-1\right)~=~\boxed{\log\left(\dfrac{1-\sqrt{41}}{2}\right)}\\\\~~~~~~~~ O~valor~do~logaritmando~(a)~encontrado~\underline{nao}~\acute{e}~maior~que~0,\\~~~~~~~~ logo~nao~atende~\grave{a}s~C.E's$

      $~~~~~~~~\log(x-2)~~ \Rightarrow~~\log\,\left(\dfrac{3-\sqrt{41}}{2}-2\right)~=~\boxed{\log\left(\dfrac{-1-\sqrt{41}}{2}\right)}\\\\~~~~~~~~ O~valor~do~logaritmando~(a)~encontrado~\underline{nao}~\acute{e}~maior~que~0,\\~~~~~~~~ logo~nao~atende~\grave{a}s~C.E's\\\\\\~~~~~~~~Como~as~C.E's~~\underline{nao}~sao~respeitadas,~temos~que~~x=\dfrac{3-\sqrt{41}}{2}~\underline{nao}~\acute{e}\\~~~~~~~~raiz~da~eq.~logaritmica.$

Dessa forma, temos uma solução única para a equação logarítmica:

$\boxed{~x~=~\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}}\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$