Resolva as seguintes multiplicações de termos algébricos abaixo:
a) 8 . 3b + 5 . 6c
b) 4( x + 2) + 6 ( y - 2 )
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Soluções para a tarefa
Sempre que a palavra “algébrica” for utilizada para uma expressão numérica, significa que essa expressão possui pelo menos uma incógnita, isto é, uma letra ou símbolo utilizado para representar um número desconhecido. Desse modo, uma fração algébrica, por sua vez, nada mais é do que uma fração que possui pelo menos uma incógnita no denominador (parte de baixo da fração). Portanto, a simplificação de frações algébricas segue o mesmo fundamento da simplificação de frações numéricas.
São exemplos de frações algébricas:
1)
2x
4y
2)
4y2 – 9x2
2y + 3x
Simplificando frações algébricas
Simplificar uma fração algébrica segue o mesmo fundamento de simplificar uma fração numérica. É preciso dividir numerador e denominador por um mesmo número. Observe um exemplo de simplificação de fração:
30 = 15 = 5 = 1
60 30 10 2
A fração acima foi simplificada por 2, depois por 3 e depois por 5. Para fundamentar o procedimento de simplificação de frações algébricas, reescreveremos a primeira fração acima em sua forma fatorada:
30 = 2·3·5
60 2·2·3·5
Perceba que os números 2, 3 e 5 repetem-se no numerador e no denominador e que eles foram exatamente os mesmos números pelos quais a fração foi simplificada. No contexto das frações algébricas, o procedimento é parecido, pois é necessário fatorar os polinômios presentes no numerador e no denominador. Após isso, devemos avaliar se é possível simplificar alguns deles.
Exemplos
1) Simplifique a fração algébrica seguinte:
4x2y3
16xy6
Fatore cada uma das incógnitas e números presentes na fração:
4x2y3
16xy6
2·2·x·x·y·y·y
2·2·2·2·x·y·y·y·y·y·y
Agora realize as divisões que forem possíveis, conforme feito anteriormente para a fração numérica: Os números que aparecem tanto no numerador quanto no denominador desaparecem, isto é, são “cortados”. Também é possível escrever que o resultado de cada uma dessas simplificações é 1. Observe:
2·2·x·x·y·y·y
2·2·2·2·x·y·y·y·y·y·y
x
2·2·y·y·y
x
4y3
2) Simplifique a fração algébrica seguinte:
4y2 – 9x2
2y + 3x
Observe que o numerador dessa fração algébrica enquadra-se em um dos casos de produtos notáveis, isto é, a diferença de dois quadrados. Para fatorá-lo, basta reescrevê-lo em sua forma fatorada. Após isso, é possível “cortar” os termos que aparecem tanto no denominador quanto no numerador assim como no exemplo anterior. Observe:
4y2 – 9x2
2y + 3x
= (2y + 3x)(2y – 3x)
2y + 3x
= 1·(2y – 3x)
= 2y + 3x
3) Simplifique a fração algébrica seguinte:
a2(y2 – 16x2)
ay + 4ax
Como feito anteriormente, fatore os polinômios presentes no numerador e no denominador. Após isso, realize as divisões que forem possíveis.
a2(y2 – 16x2)
ay + 4ax
= a·a·(y + 4x)(y – 4x)
a·(y + 4x)
Observe que o numerador foi fatorado por meio da diferença de dois quadrados e o denominador foi fatorado por meio do fator comum. Além disso, o termo a2 pode ser escrito como o produto a·a. Para finalizar, realize as divisões que forem possíveis. A saber, a por a e (y + 4x) por (y + 4x):
a)24b+30c -> 6(4b +5c)
b) 2(2x-2+3y)