Question

Resolva as seguintes integrais pelo método da substituição:
1)∫ $\frac{lnx^{2} }{x}$ dx

2)∫$(e^{x} +1)^3e^xdx$

Answer 1

Olá,

01)

$\tt \int \: \dfrac{ln \: {x}^{2} }{x} \: dx$

Lembre-se de uma propriedade dos logaritmos que versa:

$\boxed{ \tt \: ln \: {x}^{n} = n \: ln \: x}$

Substituindo na integral:

$\tt \int \: \dfrac{ln \: {x}^{2} }{x} \: dx\\ \tt \: = \tt \int \: \dfrac{2 \: ln \: {x} }{x} \: dx\\ \tt \: = \tt 2\int \: \dfrac{ln \: {x}}{x} \: dx$

Vamos fazer a seguinte substituição:

$\tt \: u = ln \: x \\ \tt \: du = \dfrac{1}{x} \: dx \\ \tt \: dx = x \: du$

Substituindo na integral:

$\tt = 2 \: \int \: \dfrac{ln \: {x} }{x} \: dx\\ \tt = 2 \: \int \: \dfrac{u }{x} \: x \: du\\\tt = 2 \: \int \: \dfrac{u }{ \cancel{x}} \: \cancel{x} \: du\\ \tt = 2 \: \int \: u\: du\\ \tt \: = 2 \: \dfrac{ {u}^{2} }{2} + c \\ \tt \: = \cancel{2} \: \dfrac{ {u}^{2} }{ \cancel{2}} + k \\ \tt \: = {u}^{2} + k$

Substituindo o u:

$\boxed{\tt \int \: \dfrac{ln \: {x}^{2} }{x} \: dx = {ln}^{2} x \: + k}$

02)

$\tt \int \: ( {e}^{x} + 1 {)}^{3} {e}^{x} \: dx$

Vamos fazer a seguinte substituição:

$\tt \: u = {e}^{x} + 1 \\ \tt \: du \: = {e}^{x} \: dx \\ \tt \: dx = \dfrac{1}{ {e}^{x} } \: du$

Substituindo na integral:

$\tt \int \: ( {e}^{x} + 1 {)}^{3} {e}^{x} \: dx \\ = \tt \int \: {u}^{3} {e}^{x} \: \dfrac{1}{ {e}^{x} } \: du\\ = \tt \int \: {u}^{3} \cancel{{e}^{x}} \: \dfrac{1}{ \cancel{{e}^{x} }} \: du\\ \tt = \int \: {u}^{3} \: du \\ \tt \: = \dfrac{ {u}^{4} }{4} + k$

Substituindo o u:

$\boxed{\tt \int \: ( {e}^{x} + 1 {)}^{3} {e}^{x} \: dx = \dfrac{1}{4} \left( {e}^{x} + 1\right) {}^{4} + k}$