Question

Resolva as seguintes inequações trigonométricas, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π

a) 2 sen x ≥ -1
b) cos x ≥ 1/2

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a)

$\sf 2\cdot sen~x \ge -1$

$\sf sen~x \ge \dfrac{-1}{2}$

Nos dois primeiros quadrantes o seno é positivo

No terceiro quadrante:

$\sf sen~210^{\circ}=\dfrac{-1}{2}~\Rightarrow~sen\Big(\dfrac{7\pi}{6}\Big)=\dfrac{-1}{2}$

No quarto quadrante:

$\sf sen~330^{\circ}=\dfrac{-1}{2}~\Rightarrow~sen\Big(\dfrac{11\pi}{6}\Big)=\dfrac{-1}{2}$

Os ângulos entre 210° e 330° não satisfazem essa desigualdade.

Logo, o conjunto solução é:

$\sf \red{S=\Big\{x\in\mathbb{R}~|~0 \le x \le \dfrac{7\pi}{6}~ou~\dfrac{11\pi}{6} \le x \le 2\pi\Big\}}$

b)

$\sf cos~x \ge \dfrac{1}{2}$

No primeiro quadrante:

$\sf cos~60^{\circ}=\dfrac{1}{2}~\Rightarrow~cos\Big(\dfrac{\pi}{3}\Big)=\dfrac{1}{2}$

No segundo e no terceiro quadrantes o cosseno é negativo

No quarto quadrante:

$\sf cos~300^{\circ}=\dfrac{1}{2}~\Rightarrow~cos\Big(\dfrac{5\pi}{3}\Big)=\dfrac{1}{2}$

Os ângulos entre 60° e 300° não satisfazem essa desigualdade.

Logo, o conjunto solução é:

$\sf \red{S=\Big\{x\in\mathbb{R}~|~0 \le x \le \dfrac{\pi}{3}~ou~\dfrac{5\pi}{3} \le x \le 2\pi\Big\}}$