Question

Resolva as seguintes inequações em R

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Naty, agora vamos resolver as questões propostas nos itens "c" e "d", que você havia colocado em uma outra mensagem junto com as inequações dos itens "a" e "b". Na primeira mensagem resolvemos apenas as questões dos itens "a" e "b". Agora resolveremos as questões propostas nos itens "c" e "d". Como sempre, vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

c) (x+3)/(x-5) < 2 ----- veja que aqui temos a restrição quanto ao denominador "x-5" que não poderá ser igual a zero, pois não há divisão por zero. Então vamos impor que a condição de existência será: x-5 ≠ 0 ---> x ≠ 5 <--- Esta é a condição de existência que deveremos observar.

Agora vamos trabalhar com a expressão dada:

(x+3)/(x-5) < 2 ---- passando "2" para o 1º membro da desigualdade, temos:

(x+3)/(x-5) - 2 < 0 ---- mmc, no 1º membro é "x-5". Assim, utilizando-o no 1º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador):

[1*(x+3) - (x-5)*2]/(x-5) < 0 ------ desenvolvendo temos:

[(x+3) - (2x-10)]/(x-5) < 0 --- retirando-se os parênteses de dentro dos colchetes iremos ficar assim:

[x+3 - 2x + 10]/(x-5) < 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:

(-x + 13)/(x-5) < 0

Agora note que ficamos com a divisão de duas equações do 1º grau cuja divisão de uma pela outra terá que ser negativa (<0). Temos f(x) = -x+13 e temos g(x) = x-5. Vamos encontrar suas raízes e depois estudaremos a variação de sinais de cada uma das equações e, no fim, diremos qual é o conjunto-solução de toda a inequação original. Assim temos:

f(x) = -x+13 ---> raízes: x+3 = 0 ---> -x = -13 ---> x = 13

g(x) = x-5 ---> raízes: x-5 = 0 ---> x = 5.

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma das equações em função de suas raízes. Depois diremos qual é o conjunto-solução da inequação original:

a) f(x) = -x + 13 ..... + + + + + + + + + + + + + + + + (13) - - - - - - - - - - - - - - - - -

b) g(x) = x - 5 .......- - - - - - - - (5) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

c) a/b.................... - - - - - - - - (5) + + + + + + + + + (13) - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Como queremos que a divisão de f(x) por g(x) seja negativa (< 0) então só nos vai interessar onde tiver sinal de MENOS no item do gráfico acima, que nos fornece o resultado da divisão de f(x) por g(x). Assim, teremos que (a propósito, note que na resposta abaixo estamos observando a condição de existência dada inicialmente):

x < 5 ou x > 13 ----------- esta é a resposta para a inequação do item "c".

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma o que dá no mesmo:

S = (-∞; 5) ∪ (13; +∞).

d) [(x+4)*(x+1)]/(x-2) > 0

Note que aqui, temos a restrição do denominador que não poderá ser zero. Logo, deveremos impor, antes de mais nada, a seguinte condição de existência: x-2 ≠ 0 ---> x ≠ 2.

Agora vamos trabalhar com a inequação dada, que é:

[(x+3)*(x+1)]/(x-2) > 0

Note que temos o produto de duas equações do 1º grau [f(x) = x+3 e g(x) = x+1)], sendo dividido por outra equação do 1º grau [h(x) = x-2]

Vamos encontrar as raízes de cada uma das equações e depois, em função de suas raízes, estudaremos os sinais de cada uma delas e, finalmente, daremos o conjunto-solução da inequação original. Assim teremos:

f(x) = x+4 ---> raízes: x+4 = 0 ---> x = - 4

g(x) = x+1 ---> raízes: x+1 = 0 ---> x = - 1

h(x) = x-2 ---> raízes: x-2 = 0 ---> x = 2

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma delas:

a) f(x) = x+4 .... - - - - - - - - - - (-4) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

b) g(x) = x+1...... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (-1) + + + + + + + + + + + + + + + +

c) h(x) = x-2......- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (2) + + + + + + + + +

d) a*b/c .........- - - - - - - - - - - (-4) + + + + + + (-1) - - - - - - -(2) + + + + + + + + +

Como queremos que o produto f(x)*g(x) dividido por h(x) seja maior do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal MAIS no item "d" acima que nos fornece o resultado desse produto de f(x) por g(x) dividido por h(x). Assim, teremos que o conjunto-solução será (a propósito, note que estamos observando a condição de existência vista logo no início):

-4 < x < -1 ou x > 2 ----- Esta é a resposta para a inequação do item "d".

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma o que dá no mesmo:

S = (-4; -1) ∪ (2; +∞).

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.