Question

Resolva as seguintes equações usando o método de eliminação gaussiana:
(a) 3x1 + 6x2 - 5x3 = - 5
4x1 - 7x2 + 2x3 = - 6
- x1 + 8x2 + 9x3 = 93

Answer 1

Para resolver este sistema de equações 3x3 por eliminação gaussiana, Primeiramente vamos escrever uma matriz 3x4 com os coeficientes que multiplicam todas as nossas variáveis de cada equação e também devemos escrever as soluções do sistema, fazendo isso obtemos a seguinte matriz::

$\left(\begin{array}{ccc|c}3&6&-5&-5\\\\4&-7&2&-6\\\\-1&8&9&93\end{array}\right)$

Por definição, diz-se que um sistema linear de equações está em forma escalonado se sua matriz aumentada estiver em forma escalonado, para deixar uma matriz em forma escalonado devemos ter apenas uma diagonal de apenas números 1. Para deixar nossa matriz em sua forma escalonada vamos mudar a posição da segunda linha com a primeira linha.

$\left(\begin{array}{ccc|c}4&-7&2&-6\\\\3&6&-5&-5\\\\-1&8&9&93\end{array}\right)$

Neste momento é onde acontece a mágica do método de eliminação gaussiana, o que devemos fazer é eliminar o número 3 que está na linha 2 da nossa matriz, para isso multiplicamos a linha 1 por -3/4 e deve-se somar o resultado pela linha 2.

$\left(\begin{array}{ccc|c}4&-7&2&-6\\\\3&6&-5&-5\\\\-1&8&9&93\end{array}\right)\overset{\mathrm{-\frac{3}{4}L_1+L_2}}\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}4&-7&2&-6\\\\0&\frac{45}{4}&-\frac{13}{2}&-\frac{1}{2}\\\\-1&8&9&93\end{array}\right)$

Agora a próxima coisa é eliminar o número -1 que está na terceira linha da nossa matriz, para eliminar esse -1 vamos multiplicar a primeira linha da nossa matriz por 1/4 e o resultado que vamos adicione a terceira linha da nossa matriz.

$\left(\begin{array}{ccc|c}4&-7&2&-6\\\\0&\frac{45}{4}&-\frac{13}{2}&-\frac{1}{2}\\\\-1&8&9&93\end{array}\right)\overset{\mathrm{\frac{1}{4}L_1+L_3}}\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}4&-7&2&-6\\\\0&\frac{45}{4}&-\frac{13}{2}&-\frac{1}{2}\\\\0&\frac{25}{4}&\frac{19}{2}&\frac{183}{2}\end{array}\right)$

Estamos quase conseguindo o que queremos que aconteça, vamos multiplicar a segunda linha da nossa matriz por -5/9 e o resultado será somado com a terceira linha da nossa matriz.

$\left(\begin{array}{ccc|c}4&-7&2&-6\\\\0&\frac{45}{4}&-\frac{13}{2}&-\frac{1}{2}\\\\0&\frac{25}{4}&\frac{19}{2}&\frac{183}{2}\end{array}\right)\overset{\mathrm{-\frac{5}{9}L_2+L_3}}\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}4&-7&2&-6\\\\0&\frac{45}{4}&-\frac{13}{2}&-\frac{1}{2}\\\\0&0&\frac{118}{9}&\frac{826}{9}\end{array}\right)$

A terceira linha da nossa matriz pode ser ainda mais simplificada, para isso vamos multiplicar a terceira linha por 9/118 e assim obter:

$\left(\begin{array}{ccc|c}4&-7&2&-6\\\\0&\frac{45}{4}&-\frac{13}{2}&-\frac{1}{2}\\\\0&0&\frac{118}{9}&\frac{826}{9}\end{array}\right) \overset{\mathrm{\frac{9}{118}L_3}}\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}4&-7&2&-6\\\\0&\frac{45}{4}&-\frac{13}{2}&-\frac{1}{2}\\\\0&0&1&7\end{array}\right)$

Multiplicamos a terceira linha da nossa matriz por 13/2 e o resultado é adicionado à segunda linha.

$\left(\begin{array}{ccc|c}4&-7&2&-6\\\\0&\frac{45}{4}&-\frac{13}{2}&-\frac{1}{2}\\\\0&0&1&7\end{array}\right) \overset{\mathrm{\frac{13}{2}L_3+L_2}}\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}4&-7&2&-6\\\\0&\frac{45}{4}&0&45\\\\0&0&1&7\end{array}\right)$

Multiplicamos a terceira linha da nossa matriz por -2 e o resultado é adicionado à primeira linha da matriz.

$\left(\begin{array}{ccc|c}4&-7&2&-6\\\\0&\frac{45}{4}&0&45\\\\0&0&1&7\end{array}\right) \overset{\mathrm{-2L_3+L_2}}\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}4&-7&0&-20\\\\0&\frac{45}{4}&0&45\\\\0&0&1&7\end{array}\right)$

Multiplicando a segunda linha de nossa matriz por 4/45, para simplificar nossa matriz dessa maneira equivalente:

$\left(\begin{array}{ccc|c}4&-7&0&-20\\\\0&\frac{45}{4}&0&45\\\\0&0&1&7\end{array}\right) \overset{\mathrm{\frac{4}{45}L_2}}\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}4&-7&0&-20\\\\0&1&0&4\\\\0&0&1&7\end{array}\right)$

Multiplique a segunda linha da nossa matriz por 7 e o resultado será adicionado à primeira linha da matriz.

$\left(\begin{array}{ccc|c}4&-7&0&-20\\\\0&1&0&4\\\\0&0&1&7\end{array}\right) \overset{\mathrm{7L_2+L_1}}\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}4&0&0&8\\\\0&1&0&4\\\\0&0&1&7\end{array}\right)$

Finalmente podemos multiplicar a primeira linha da matriz por 1/4 para obter o resultado:

$\left(\begin{array}{ccc|c}4&0&0&8\\\\0&1&0&4\\\\0&0&1&7\end{array}\right) \overset{\mathrm{\frac{1}{4}L_1}}\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&0&2\\\\0&1&0&4\\\\0&0&1&7\end{array}\right)$

Observe que em todas as colunas, exceto na última, temos apenas dois números zero e um número um que está dando a impressão de uma forma diagonal na primeira, segunda e terceira linhas. Lembrando a ordem das variáveis e as soluções do sistema de equações original, podemos concluir que um sistema de equações equivalente ao que temos é igual a:

$\begin{cases}\bf x_1+0x_2+0x_3=2\\ \bf 0x_1+x_2+0x_3=4\\ \bf 0x_1+0x_2+x_3=7\end{cases}~\rightarrow~\begin{cases}\bf x_1=2\\ \bf x_2=4\\ \bf x_3=7\end{cases}$