Question

Resolva as seguintes equações modulares no conjunto dos números reais: |x² - 6x| = 8 e x² - 6|x| + 8 = 0

Answer 1

Olá!

Em IR:
a) |x²-6x| = 8 -> Por definição de módulo temos duas situações:
1ª)
x²-6x = 8 -> Logo:
x²-6x-8 = 0 -> Por bháskara:
Δ = b²-4ac
Δ = 36-4.1.(-8)
Δ = 36+32
Δ = 68

x' = 6+2√17/2 (:2) = 3+√17
x'' = 6-2√17/2 = 3-√17

2ª)
x²-6x = -8 -> Logo:
x²-6x+8 = 0
Δ = 36-4.8
Δ = 4

x' = 6+2/2 = 8/2 = 4
x'' = 6-2/2 = 4/2 = 2

Logo:
S = {3-√17,3+√17,2,4}

b) x²-6|x|+8 = 0 -> Podemos escrever x² = |x²| = |x|². Logo:
|x|²-6|x|+8 = 0 -> Fazendo |x| = y, temos:
y²-6y+8 = 0 -> Resolvendo:
Δ = 36-4.8
Δ = 36-32
Δ = 4

x' = 6+2/2 = 8/2 = 4
x'' = 6-2/2 = 4/2 = 2

Mas:
|x| = y -> Logo:
|x| = y' => |x| = 4 => x = -4 ou x = 4
|x| = 2 => |x| = 2 => x = -2 ou x = 2

∴ S = {-4,-2,2,4}

Espero ter ajudado! :)