Question

Resolva as seguintes equações literais, considerando U = ℝ e a incógnita x:

a) kx - 5 = 7 + 4x, com k ≠ 4

b) a²x = b · (1 + ax), com a ≠ 0 e a ≠ b

c) 7 - 6x = 5 - ax, com a ≠ 6

d) (x - k) · (x - m) = x² - 10, com k + m ≠ 0

e) x² + qx - px - pq = 0

f) x² + ax - bx + 1 = 1

g) x² + (1 + 2m)x + m² + m = 0

h) x² - 2ax - 2x + a² + 2a = 0

Answer 1

Para resolver a equação literal, precisamos isolar a incógnita que, no caso desse exercício, é x.

a) kx - 5 = 7 + 4x

kx - 4x = 7 + 5

kx - 4x = 12

Colocando o x em evidência:

x(k - 4) = 12

Portanto,

$x=\frac{12}{k-4}$

b) a²x = b(1 + ax)

Primeiramente, vamos eliminar os parênteses:

a²x = b + ax

a²x - ax = b

Colocando o x em evidência:

x(a² - a) = b

Portanto,

$x=\frac{b}{a^2-a}$

c) 7 - 6x = 5 - ax

ax - 6x = 5 - 7

ax - 6x = -2

Colocando o x em evidência:

x(a - 6) = -2

Portanto,

$x=\frac{-2}{a-6}$.

d) (x - k)(x - m) = x² - 10

Primeiramente, vamos aplicar a distributiva:

x² - xm - xk + mk = x² - 10

-xm - xk + mk = -10

-xm - xk = -10 - mk

Multiplicando toda equação por -1 e colocando o x em evidência:

xm + xk = 10 + mk

x(m + k) = 10 + mk

Portanto,

$x=\frac{10+mk}{m+k}$.

e) x² + qx - px - pq = 0

Perceba que podemos escrever a equação na forma x² + x(q - p) - pq = 0.

Então, pela fórmula de Bháskara:

Δ = (q - p)² - 4.1.(-pq)

Δ = q² - 2pq + p² + 4pq

Δ = q² + 2pq + p²

Δ = (p + q)²

$x=\frac{-(q-p)+-(p+q)}{2}$

$x'=\frac{-q+p+p+q}{2} = p$

$x''=\frac{-q+p-p-q)}{2}= -q$.

f) x² + ax - bx + 1 = 1

x² + ax - bx = 0

Colocando o x em evidência:

x(x + a - b) = 0

x = 0 ou x = b - a.

g) x² + (1 + 2m)x + m² + m = 0

Pela fórmula de Bháskara:

Δ = (1 + 2m)² - 4.1.(m² + m)

Δ = 1 + 4m + 4m² - 4m² - 4m

Δ = 1

$x=\frac{-(1+2m)+-1}{2}$

$x'=\frac{-1-2m+1}{2} = -m$

$x''=\frac{-1-2m-1}{2}=-1-m$.

h) x² - 2ax - 2x + a² + 2a = 0

x² - x(2a + 2) + a² + 2a = 0

Pela fórmula de Bháskara:

Δ = (2a + 2)² - 4.1.(a² + 2a)

Δ = 4a² + 8a + 4 - 4a² - 8a

Δ = 4

$x=\frac{2a+2+-2}{2}$

$x'=\frac{2a+2+2}{2}= a + 2$

$x''=\frac{2a+2-2}{2}=a$.