Matemática, perguntado por robertindoleite, 6 meses atrás

Resolva as seguintes equações incompletas do 2° grau: a) x²- 4x = 0 b) 2x² - 8x = 0 c) 2x² - 32 = 0 d) x² - 7 = 5 e) 2x² = 8x

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

⠀⠀Resolvendo as equações incompletas do 2º grau temos o conjunto de solução de cada uma:

a) S = {0 ; 4}
b) S = {0 ; 4}
c) S = {– 4 ; 4}
d) S = {– 2√3 ; 2√3}
e) S = {0 ; 4}

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Considerações

⠀⠀Uma equação completa do 2º grau é aquela que possui todos os três coeficientes — sendo que a, b, c ∈ ℝ | a ≠ 0 —, na forma $ax^2+bx+c=0$ . Há três tipos de equações incompletas do 2º grau:

as que são do tipo b = 0 e se situam na forma $ax^2+c=0$ . Nesse tipo resolvemos por uma forma prática, apenas isolando a varável e extraindo a raiz quadrada de ambos os membros (obs.: as raízes serão opostas uma da outra, sempre);
as que são do tipo c = 0 e se situam na forma $ax^2+bx=0$ . Nesse tipo resolvemos por fatoração, colocando o fator comum em evidência e igualando os fatores do produto à zero (obs.: apenas uma raiz será nula, sempre);
e as que são do tipo b, c = 0 e se situam na forma $ax^2=0$ . Nesse tipo, as duas raízes sempre serão nulas.

⠀⠀Lembrando que nesses tipos de equações nada nos impede de fazer por Bhaskara, só que chega a ser laborioso e desnecessário tendo em vista que aqueles métodos são bem mais práticos.

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Resolução

⠀⠀Dado as equações quadráticas incompletas de a) até e), para resolver cada tipo vamos usar os métodos supramencionados:

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$\Large\begin{array}{l}\boldsymbol{a)}~x^2-4x=0~,~~c=0\\\\~~~~~\!x\cdot(x-4)=0\\\\~~~~~\!x=0~~\vee~~x-4=0\\\\~~~~~\!x_1=0~~\vee~~x_2=4\\\\~~~~~\!\!\boxed{S=\big\{0~~;~~4\big\}}\end{array}$

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$\Large\begin{array}{l}\boldsymbol{b)}~2x^2-8x=0~,~~c=0\\\\~~~~2x\cdot(x-4)=0\\\\~~~~2x=0~~\vee~~x-4=0\\\\~~~~x=\dfrac{0}{2}~~\vee~~x=4\\\\~~~~x_1=0~~\vee~~x_2=4\\\\~~~~\!\boxed{S=\big\{0~~;~~4\big\}}\end{array}$

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$\Large\begin{array}{l}\boldsymbol{c)}~2x^2-32=0~,~~b=0\\\\~~~~2x^2=32\\\\~~~~x^2=\dfrac{32}{2}\\\\~~~~x^2=16\\\\~~~~|x|=\sqrt{16}\\\\~~~~x=\pm~4\\\\~~~~x_1=-\,4~~\vee~~x_2=4\\\\~~~~\!\boxed{S=\big\{\!\!-4~~;~~4\big\}}\end{array}$

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$\Large\begin{array}{l}\boldsymbol{d)}~x^2-7=5~,~~b=0\\\\~~~~x^2=5+7\\\\~~~~x^2=12\\\\~~~~|x|=\sqrt{12}\\\\~~~~x=\pm~\sqrt{2\cdot2\cdot3}\\\\~~~~x=\pm~\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{3}\\\\~~~~x=\pm~2\sqrt{3}\\\\~~~~x_1=-\,2\sqrt{3}~~\vee~~x_2=2\sqrt{3}\\\\~~~~\!\boxed{S=\Big\{\!\!-2\sqrt{3}~~;~~2\sqrt{3}\Big\}}\end{array}$

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$\Large\begin{array}{l}\boldsymbol{e)}~2x^2=8x\\\\~~~~2x^2-8x=0~,~~c=0\end{array}$

⠀⠀Passei todos os termos de um lado para que a igualdade tornasse uma equação na forma $ax^2+bx=0$ . Assim, veja essa que é a mesma do item b), então já sabemos que:

$\Large\begin{array}{l}~~~~x_1=0~~\vee~~x_2=4\\\\~~~~\!\boxed{S=\big\{0~~;~~4\big\}}\end{array}$

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⠀⠀E assim encerra-se a questão pois todas as equações foram resolvidas.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$