Question

Resolva as seguintes equações exponenciais:

a)
$( \sqrt{3 {}^{x} } ) = \sqrt[3]{81}$
b)
$2 {}^{x} = \frac{1}{16}$
c)
$4 {}^{x} = \frac{1}{8}$
d)
$( \frac{1}{5} ) {}^{x} = 125$
e)
$8 {}^{x} = 0.25$

​

Answer 1

Usando as propriedades de potências, obtém-se:

a) x = 8/3        b) x = - 4        c) x = -3/2        d) x = -3        e) x = - 2/3

Transformar um radical numa potência de expoente fracionário

• base do radicando vai ser a base da potência
• no expoente fracionário, o numerador é o expoente do radicando e o denominador é o índice do radical

Exemplo:

$\sqrt{3^x} =\sqrt[2]{3^x}=3^{\dfrac{x}{2} }$

Elementos de um radical

• Exemplo $\sqrt[7]{3^2}$
• $3^2$ é o radicando
• 2 é o expoente do radicando
• 7 é o índice do radical
• √ é símbolo de radical

Radicais com índices "escondidos"

• quando um radical não tem índice  escrito, significa que seu índice é 2 .É uma simplificação que os matemáticos fazem na escrita simbólica. Mas temos que saber que lá está, quando dele necessitarmos

Exemplo:

$\sqrt{3} =\sqrt[2]{3}$

a)

$(\sqrt{3^x})=\sqrt[3]{81} \\ ~\\\sqrt[2]{3^x} =\sqrt[3]{3^4}$

passar ambas os radicais para potências de expoente fracionário

$3^{\dfrac{x}{2}}=3^{\dfrac{4}{3}}$

• duas potências , com a mesma base, são iguais quando seus expoentes forem iguais entre si

$\dfrac{x}{2} =\dfrac{4}{3}$

produto cruzado

$3x=2\cdot4\\~\\3x\div3=8\div3\\~\\x=\dfrac{8}{3}$

b)

$2^x=\dfrac{1}{16}\\~\\2^x=\dfrac{1}{2^4}\\~\\2^x=(\dfrac{1}{2})^4 \\~\\2^x=(\dfrac{2}{1}) ^{-4} \\~\\2^x=2^{-4}\\~\\x=-4$

Mudar o sinal do expoente de uma potência

• primeiro inverte-se a fração
• depois troca-se o sinal do expoente

Fração inversa

• é aquela em que numerador passa a denominador
• e o denominador passa a numerador

Exemplo:

$\dfrac{1}{4} =\dfrac{4}{1}$

c)

$4^x=\dfrac{1}{8} \\~\\4^x=\dfrac{1}{2^3}$

• transformar a base da primeira potência em 2
• mudar expoente da segunda potência

$(2^2)^x=\dfrac{1}{2^3} \\~\\2^{(2\cdot x)} =\dfrac{1^3}{2^3} \\~\\2^{2x} =(\dfrac{1}{2})^3\\ ~\\2^{2x} =(\dfrac{2}{1} )^{-3} \\~\\2^{2x} =2^{-3}\\~\\2x=-3\\~\\\dfrac{2x}{2} =-\dfrac{3}{2} \\~\\x=-\dfrac{3}{2}$

d)

Decompor 125 em fatores primos

$125~|~5\\~\\025~|~5\\~\\005~|~5\\1~~fim$

$(\dfrac{1}{5})^{x}=125\\~\\(\dfrac{5}{1})^{-x}=5^3\\~\\5^{-x}=5^3\\~\\-x=3\\~\\x=-3$

e)

$8^x=0{,}25\\~\\(2^3)^{x} = \dfrac{25}{100}\\~\\2^{3x}=\dfrac{25\div25}{100\div25}\\~\\2^{3x}=\dfrac{1}{4}\\~\\2^{3x}=\dfrac{1}{2^2}\\~\\2^{3x}=2^{-2}$

Bases iguais, necessita que expoentes iguais entre si

$3x=-2\\~\\x=-\dfrac{2}{3}$

 

Observação → Em equações exponencias  ( "x" como expoente de potências ) quando existe de cada lado da equação uma expressão apenas, o procedimento é fazer com que se obtenha , em cada membro, uma potência com a mesma base.

Saber mais sobre equações exponenciais, com Brainly :

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Bons estudos.

Att     Duarte Morgado

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Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.