Question

Resolva as questoes seguintes VALE 25 PONTOS

Answer 1

1)

a) $5^{x+1}-7\cdot 5^{x}=-2$

$5^{x}\cdot 5^{1}-7\cdot 5^{x}=-2\\ \\ 5^{x}\cdot 5-7\cdot 5^{x}=-2$


Colocando $5^{x}$ em evidência no lado esquerdo, temos

$5^{x}\cdot (5-7)=-2\\ \\ 5^{x}\cdot (-2)=-2$


Dividindo os dois lados por $(-2),$ temos

$5^{x}=\dfrac{-2}{-2}\\ \\ 5^{x}=1\\ \\ 5^{x}=5^{0}\;\;\Rightarrow\;\;\boxed{\begin{array}{c}x=0 \end{array}}$


b) $7^{2x+12}=49$

$7^{2x+12}=7^{2}$


Temos uma igualdade entre exponenciais de mesma base. Então, é só igualar os expoentes:

$2x+12=2\\ \\ 2x=2-12\\ \\ 2x=-10\\ \\ x=\dfrac{-10}{2}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}x=-5 \end{array}}$


c) $10^{4x-8}=0,0001$

$10^{4x-8}=10^{-4}$


Temos exponenciais de mesma base dos dois lados. Então, igualando os expoentes:

$4x-8=-4\\ \\ 4x=-4+8\\ \\ 4x=4\\ \\ x=\dfrac{4}{4}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}x=1 \end{array}}$


d) $36^{x-8}=\sqrt{6}$

$(6^{2})^{x-8}=\sqrt{6}\\ \\ 6^{2\,\cdot\,(x-8)}=\sqrt{6}\\ \\ 6^{2\,\cdot\,(x-8)}=6^{1/2}$


Novamente temos uma igualdade entre exponenciais de mesma base. Igualando os expoentes:

$2\cdot (x-8)=\dfrac{1}{2}\\ \\ \\ 2x-16=\dfrac{1}{2}\\ \\ \\ 2\cdot (2x-16)=1\\ \\ 4x-32=1\\ \\ 4x=1+32\\ \\ 4x=33\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}x=\dfrac{33}{4} \end{array}}$


2) Para que uma função do segundo grau na forma

$f(x)=ax^{2}+bx+c\;\;\;(a \neq 0)$

tenha valor máximo, o sinal do coeficiente $a$ deve ser negativo.


Temos a função

$f(x)=(2k-8)x^{2}-6x-9\;\;\;\Rightarrow\;\;a=2k-8$


Para que $f$ tenha valor máximo, devemos ter

$a<0\\ \\ 2k-8<0\\ \\ 2k<8\\ \\ k<\dfrac{8}{2}\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}k<4 \end{array}}$


3) Temos o gráfico da função exponencial

$f(x)=a^{x}\;\;\;\;(a>0\;\;\text{ e }\;\;a \neq 1)$


$\bullet\;\;$ Quando $x=3,$ temos

$f(3)=27\\ \\ a^{3}=27\\ \\ a=\sqrt[3]{27}\\ \\ a=3$


Logo, a lei da função é

$\boxed{\begin{array}{c} f(x)=3^{x}\end{array}}$


4) Determinar os valores de $x,$ tal que a função

$f(x)=3x^{2}-2x-1$

é negativa:

$f(x)<0\\ \\ 3x^{2}-2x-1<0$


Encontrando as raízes $x_{1}$ e $x_{2}$ da função:

$f(x)=0\\ \\ 3x^{2}-2x-1=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\left\{ \begin{array}{l} a=3\\ b=-2\\ c=-1 \end{array} \right.\\ \\ \\ \\ \Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=(-2)^{2}-4\cdot 3\cdot (-1)\\ \\ \Delta=4+12\\ \\ \Delta=16\\ \\ \\ x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ \\ x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{16}}{2\cdot 3}\\ \\ \\ x=\dfrac{2\pm 4}{2\cdot 3}\\ \\ \\ x=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot (1 \pm 2)}{\diagup\!\!\!\! 2\cdot 3}\\ \\ \\ x=\dfrac{1 \pm 2}{3}\\ \\ \\ \begin{array}{rcl} x_{1}=\dfrac{1-2}{3}&\;\text{ e }\;&x_{2}=\dfrac{1+2}{3}\\ \\ x_{1}=\dfrac{-1}{3}&\;\text{ e }\;&x_{2}=\dfrac{3}{3}\\ \\ x_{1}=-\dfrac{1}{3}&\;\text{ e }\;&x_{2}=1 \end{array}$


Como o coeficiente quadrático $a$ é positivo, então a solução da inequação

$3x^{2}-2x-1<0$

é

$x_{1}<x<x_{2}\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}-\dfrac{1}{3}<x<1\end{array}}$


5) Determinar os intervalos de crescimento e o decrescimento das funções:

a) $y=-15x^{2}+4x-9$

$\Rightarrow\;\;\;a=-15;\;b=4;\;c=-9$


Encontrando a abscissa do vértice:

$x_{_{V}}=-\dfrac{b}{2a}\\ \\ \\ x_{_{V}}=-\dfrac{4}{2\cdot (-15)}\\ \\ \\ x_{_{V}}=\dfrac{2}{15}$


Como o coeficiente quadrático $a=-15$ é negativo, então temos que

$\bullet\;\;$ a função é crescente, para $x\leq \dfrac{2}{15};$

$\bullet\;\;$ a função é decrescente, para $x\geq \dfrac{2}{15}.$


b) $y=10-8x+1,5x^{2}$

$\Rightarrow\;\;\;a=1,5;\;b=-8;\;c=10$


Encontrando a abscissa do vértice:

$x_{_{V}}=-\dfrac{b}{2a}\\ \\ \\ x_{_{V}}=-\dfrac{(-8)}{2\cdot 1,5}\\ \\ \\ x_{_{V}}=\dfrac{8}{3}$


Como o coeficiente qudrático $a=1,5$ é positivo, então temos que

$\bullet\;\;$ a função é decrescente, para $x \leq \dfrac{8}{3};$

$\bullet\;\;$ a função é crescente, para $x \geq \dfrac{8}{3}.$

Answer 2

.
Ola Whindersson

1)

a)

5^(x + 1) - 7*5^x = -2

5*5^x - 7*5^x = -2

-2*5^x = -2

5^x = 1

x = 0

b)

7^(2x + 12) = 49 = 7^2

2x + 12 = 2

2x = -10

x = -5

c)

10^(4x - 8) = 10^-4

4x - 8 = -4

4x = 4

x = 1

d) 

36^(x - 8) = √6 

6^(2x - 16) = 6^(1/2)

2x - 16 = 1/2

2x = 16 + 1/2 = 33/2

x = 33/4 

2)

f(x) = (2k - 8)x² - 6x - 9

2k - 8 < 0

2k < 8

k < 4

3)

f(1) = 1
f(3) = 27

f(x) = 3^x 

4)

f(x) = 3x² - 2x - 1

delta
d² = 4 + 12 = 16
d = 4

x1 = (2 + 4)/6 = 1
x2 = (2 - 4)/6 = -1/3 

a função é negativa entre as raízes

-1/3 < x <  1

5) 

a)

y = -15x² + 4x - 9

a = -15 
b = 4
c = -9 

como a < 0 a função é decrescente 

b)

f(x) = 1.5x² - 8x + 10

a = 1.5
b = -8
c = 10

como a > 0 a função é crescente 

6)

f(x) = 3^-x  a função é decrescente gráfico anexado 

7)

P(t( = 300*3^t 

P(4) = 300*3^4 = 300*81 = 24300 

300*3^t = 72900

3^t = 72900/300 = 243

t = 5 

8)

-x² + 8x + 9 = 0

delta
d² = 64 + 36 = 100
d = 10

x1 = (-8 + 10)/-2 = -1
x2 = (-8 - 10)/-2 = 9

vértice

Vx = -b/2a = -8/-2 = 4

Vy = -d²/4a = -100/-4 = 25

b) x1 = -1 e x2 = 9  y = -9

c) valor máximo = 25 imagem y ≤ 25  gráfico anexado