Question

Resolva as integrais indefinidas abaixo:

$1) \\ \\ \int_{}^{} \dfrac{-2}{x^2 - 16} \,dx \\ \\ \\ 2) \\ \\ \int_{}^{} \dfrac{2x+1}{2x^2 + 3x -2} \,dx$

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

a) $\displaystyle{\int -\dfrac{2}{x^2-16}\,dx}$

Para resolver esta integral, lembre-se que:

• A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}$.
• A integral da forma $\displaystyle{\int \dfrac{1}{a^2x^2-b^2}\,dx=\int\dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{B}{ax-b}\,dx}$, uma aplicação da propriedade conhecida como decomposição em frações parciais, em que $a,~b,~A$ e $B$ são constantes não nulas.
• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
• A integral da forma $\displaystyle{\int \dfrac{1}{ax+b}\,dx=\dfrac{1}{a}\cdot\ln|ax+b|+C$.

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{-2\cdot\int\dfrac{1}{x^2-16}\,dx}$

Sabendo que $x^2-16=(x)^2-(4)^2=(x+4)\cdot(x-4)$, decompomos a fração em frações parciais:

$\dfrac{1}{x^2-16}=\dfrac{A}{x+4}+\dfrac{B}{x-4}$

Multiplique ambos os lados da igualdade por $x^2-16$

$A\cdot(x-4)+B\cdot (x+4)=1$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$Ax-4A+Bx+4B=1$

Fatore os termos da seguinte forma:

$(A+B)x-4(A-B)=1$

Calculamos as constantes $A$ e $B$ de forma que os polinômios sejam idênticos. Teremos o seguinte sistema de equações lineares:

$\begin{cases}A+B=0\\-4\cdot(A-B)=1\\\end{cases}$

Divida ambos os lados da segunda equação por um fator $(-4)$

$\begin{cases}A+B=0\\A-B=-\dfrac{1}{4}\\\end{cases}$

Some as equações

$A+B+A-B=0-\dfrac{1}{4}\\\\\\ 2A=-\dfrac{1}{4}$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $2$

$A=-\dfrac{1}{8}$

Substituindo este resultado em qualquer uma das equações, temos:

$-\dfrac{1}{8}+B=0\\\\\\\ B=\dfrac{1}{8}$

A integral se torna:

$\displaystyle{-2\cdot\int-\dfrac{1}{8\cdot(x+4)}+\dfrac{1}{8\cdot(x-4)}\,dx}$

Aplique a regra da constante e simplifique a fração

$\displaystyle{\dfrac{1}{4}\cdot\int\dfrac{1}{x+4}-\dfrac{1}{x-4}\,dx}$

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{\dfrac{1}{4}\cdot\left(\int\dfrac{1}{x+4}\,dx-\int\dfrac{1}{x-4}\,dx\right)}$

Calcule as integrais

$\dfrac{1}{4}\cdot(\ln|x+4|-\ln|x-4|)+C\\\\\\ \dfrac{1}{4}\cdot\ln\left|\dfrac{x+4}{x-4}\right|+C,~C\in\mathbb{R}$

b) $\displaystyle{\int\dfrac{2x+1}{2x^2+3x-2}\,dx}$

Fatoramos a expressão no denominador da seguinte forma: $2x^2+3x-2=(2x-1)\cdot(x+2)$ e realizamos a decomposição em frações parciais

$\dfrac{A}{2x-1}+\dfrac{B}{x+2}=\dfrac{2x+1}{2x^2+3x-2}$

Multiplique ambos os lados da igualdade por $2x^2+3x-2$

$A(x+2)+B(2x-1)=2x+1$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$Ax+2A+2Bx-B=2x+1$

Fatore a expressão à esquerda da igualdade da seguinte forma:

$(A+2B)x+2A-B=2x+1$

Assim como antes, teremos o seguinte sistema de equações lineares:

$\begin{cases}A+2B=2\\2A-B=1\\\end{cases}$

Resolvendo o sistema, encontramos as soluções: $A=\dfrac{4}{5}$ e $B=\dfrac{3}{5}$

Nossa integral se torna:

$\displaystyle{\int \dfrac{4}{5\cdot(2x-1)}+\dfrac{3}{5\cdot(x+2)}\,dx$

Aplique a regra da soma e da constante

$\displaystyle{\dfrac{4}{5}\cdot\int \dfrac{1}{2x-1}+\dfrac{3}{5}\cdot\int\dfrac{1}{x+2}\,dx}$

Calcule as integrais

$\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\ln|2x-1|+\dfrac{3}{5}\cdot\ln|x+2|+C$

Multiplique os termos

$\dfrac{2}{5}\cdot\ln|2x-1|+\dfrac{3}{5}\cdot\ln|x+2|+C,~C\in\mathbb{R}$