Question

Resolva as integrais abaixo ∫(sen³x) dx

Answer 1

∫sen³ x dx = ∫ sen² x sen x dx
                 = ∫( 1 - cos²x) sen x dx
                 = ∫ sen x dx - ∫cos² x sen x dx
                

calculando a - ∫ cos² x sen x dx por substituição
     fazendo u = cos x  entao du = - sen x dx
   -∫cos² x sen x dx = ∫cos² x (- sen x dx)
                              =  ∫u² du
                              =  u³/3 
                              = (cos³ x)/ 3
 voltando a questão 
   ∫sen x dx - ∫ cos² x sen x dx = - cos x + (cos³ x)/3 + C
  



           

Answer 2

Integrais

Temos a Integral:

$\large \boxed{ \boxed{ \sf \: \displaystyle\int \sf {sen}^{3} x \: dx}}$

Resolucionando por Substituição, vamos dá uma organizada na integral para Aplicar a Relação Fundamental da Trigonometria

$\large \boxed{ \boxed{ \sf \: \displaystyle\int \sf {sen}^{2} x \cdot sen x \: dx}}$

Aplicando a Relação Fundamental da Trigonometria:

$\large \sf \: {sen}^{2}x +{ \cos }^{2}x = 1 \\ \\ \large \sf \: {sen}^{2}x =1 - { \cos }^{2}x$

Vamos Substituir Aquele Sen² x na integral, por ( 1 - cos² x )

$\large \boxed{ \boxed{ \sf \: \displaystyle\int \sf (1 - {cos}^{2} x) \cdot sen x \: dx}}$

Podemos começar a Cálcular nossa Substituição, por U e DU

• Cálculo:

$\large \sf \: U = cos \: x \Rightarrow \frac{du}{dx} = - sen \: x \\ \\ \large \sf \: du = - sen \: x \: dx \\ \\ \large \sf \: - du = sen.dx$

Definimos a nossa Substituição, Vamos voltar para Integral e Substituir os Termos e Aplicar Distributiva com o DU

$\boxed{ \begin{array}{lr} \\ \large \sf \: \displaystyle\int \sf (1 - {U}^{2} ) \cdot \:( - du) \\ \\ \large \sf \: \displaystyle\int \sf ( {U}^{2} - 1 ) \cdot du \: \\ \: \end{array}}$

Agora sim hein, Caímos em uma Integral Simples ! Vamos aplicar a Regra de Integração para Resolver

• Sabemos que a Diferença da Integral é Diferença das Integrais

$\displaystyle\int \sf {U}^{2} \: du- \displaystyle\int 1 \sf \: du \: \\ \\ \boxed{ \begin{array}{lr} \\ \large \sf \: \dfrac{{U}^{2 + 1}}{2 + 1} - U+C \\ \\ \\ \large \sf \: \dfrac{{U}^{3}}{3} - U+C \\ \: \end{array}}$

Chegamos a nossa Resposta, mais ainda falta uma coisinha, Inventamos aquele U, vamos realizar nossa última Substituição, Substituindo o U pelo valor que Demos a ele:

• U = Cos x

$\large\boxed{ \boxed{ \sf\dfrac{ {cos}^{3}x }{3} - cos \: x \: + C}}$

➡️ Resposta:

$\large \boxed{ \boxed{ \sf \: \displaystyle\int \sf {sen}^{3} x \: dx = \sf\dfrac{ {cos}^{3}x }{3} - cos \: x \: + C}}$