Question

resolva as inequações produtos e quociente
a) (x+3).(x-4)>0
b) (2x-3). (1-x)<_0
c) x-4>_0
x
d)x-1<_ 0
3x+4

Answer 1

a) x2-4x+3x-12>0
x2-x-12>0
delta= 1+48= 49
x= 8/2= 4
ou
x= -6/2=-3
{x €R/ x <3 e x>4}

Answer 2

Leia, para as questões a, c e d olhe as imagens abaixo melhor entendimento.

Quando trabalhamos com inequações não podemos simplesmente multiplicar os parênteses como se fosse uma equação normal.

Ex.: na inequação (x - 2).(x² - 5) > 0, se multiplicarmos os parênteses teríamos: x³ - 2x² - 5x + 10, que é uma equação do terceiro grau e seria complicado resolver.

No caso da letra d) se trata de uma divisão, onde:

$\dfrac{x-1}{3x+4} \leq 0$

Então, não dá pra resolver como uma equação comum.

Assim, temos que tratar cada parêntese como funções diferentes.

a) (x+3).(x-4)>0
Produto de duas funções: f(x) = x + 3 e g(x) = x - 4.
Primeiramente achamos as raízes de cada função e então fazemos o Estudo do Sinal (veja a primeira imagem abaixo):

Para f(x) = x + 3, temos: x + 3 = 0 ⇒ x = -3

Observe que:

- Quando x > - 3, a função terá valor positivo. Exemplo: se x = 2, o resultado será: f(2)= 2 + 3 = 5 (valor maior que zero).

- Quando x < - 3, a função terá valor negativo. Exemplo, se x = - 5, o resultado será: f(-5)= -5 + 3 = -2 (valor menor que zero).


Para g(x) = x - 4, temos: x - 4 = 0 ⇒ x = 4

Observe que:

- Quando x > 4, a função terá valor positivo. Exemplo: se x = 6, o resultado será: g(6)= 6 - 4 = 2 (valor maior que zero).

- Quando x < 4, a função terá valor negativo. Exemplo: se x = 3, o resultado será: f(3)= 3 - 4 = -1 (valor menor que zero).


Agora lançamos os valores no "Quadro de Sinais" (veja a segunda imagem abaixo), fazemos o jogo de sinal (o já conhecido "+ com + = +", "+ com - = -" e "- com - = +") e achamos os valores que satisfazem a inequação (os valores > 0).

Observamos que a inequação é > 0 para os valores x < - 3 ou x > 4. Assim, a solução é: S = { x ∈ R / x < -3 ou x > 4}.


b) (2x - 3).(1 - x) ≤ 0
Temos o produto de duas funções: f(x) = 2x - 3 e g(x) = 1 - x.

Achando as raízes de cada função e fazendo o Estudo do Sinal:

Para f(x) = 2x - 3, temos: 2x - 3 = 0 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = 3/2

Observe que:

- Quando x > 3/2, a função terá valor positivo. Exemplo: se x = 5, o resultado será: f(5)= 2*5 - 3 = 7 (valor maior que zero).

- Quando x < 3/2, a função terá valor negativo. Exemplo: se x = 1, o resultado será: f(1)= 2*1 - 3 = -1 (valor menor que zero).


Para g(x) = 1 - x, temos: 1 - x = 0 ⇒ - x = -1 ⇒ x = 1

Observe que:

- Quando x > 1, a função terá valor negativo. Exemplo, se x = 2, o resultado será: g(2) = 1 - 2 = -1 (valor menor que zero).

- Quando x < 1, a função terá valor positivo. Exemplo, se x = 0, o resultado será: g(0)= 1 - 0 = 1 (valor maior que zero).


Agora no "Quadro de Sinais", observamos que a inequação é ≤ 0 para os valores x ≤ 1 ou x ≥ 3/2. Assim, a solução é:
S = { x ∈ R / x ≤ 1 ou x ≥ 3/2}.


c) $\dfrac{x-4}{x} \geq 0$

Temos o quociente (divisão) de duas funções: f(x) = x - 4 e g(x) = x.

Achando as raízes de cada função e fazendo o Estudo do Sinal (veja a terceira imagem abaixo):

Para f(x) = x - 4, temos: x - 4 = 0 ⇒ x = 4

Observe que:

- Quando x > 4, a função terá valor positivo. Exemplo, se x = 7, o resultado será: f(7)= 7 - 4 = 3 (valor maior que zero).

- Quando x < 4, a função terá valor negativo. Exemplo, se x = 2, o resultado será: f(2)= 2 - 4 = -2 (valor menor que zero).


Para g(x) = x, temos: x = 0

Observe que:

- Quando x > 0, a função terá valor positivo. Exemplo, se x = 1, o resultado será: g(1) = 1 (valor maior que zero).

- Quando x < 0, a função terá valor negativo. Exemplo, se x = -3, o resultado será: g(-3)= -3 (valor menor que zero).


Agora no "Quadro de Sinais" (veja a quarta imagem abaixo), observamos que a inequação é ≥ 0 para os valores x < 0 ou x ≥ 4. Assim, a solução é:
S = { x ∈ R / x < 0 ou x ≥ 4}.

Obs.: Nesse caso, x não pode ser ≤ 0, pois ele está no denominador e portanto não pode ser igual a 0, pois não há divisão por 0.


d) $\dfrac{x-1}{3x+4} \leq 0$

Temos o quociente (divisão) de duas funções: f(x)= x - 1 e g(x)= 3x+4.

Achando as raízes de cada função e fazendo o Estudo do Sinal:

Para f(x) = x - 1, temos: x - 1 = 0 ⇒ x = 1

Observe que:

- Quando x > 1, a função terá valor positivo. Exemplo, se x = 3, o resultado será: f(3)= 3 - 1 = 2 (valor maior que zero).

- Quando x < 1, a função terá valor negativo. Exemplo, se x = -2, o resultado será: f(-2)= -2 - 1 = -3 (valor menor que zero).


Para g(x)= 3x + 4, temos: 3x + 4 = 0 ⇒ 3x = -4 ⇒ x = -4/3

Observe que:

- Quando x > -4/3, a função terá valor positivo. Exemplo, se x = 6, o resultado será: g(3) = 3*3 + 4 = 13 (valor maior que zero).

- Quando x < -4/3, a função terá valor negativo. Exemplo, se x = -7/3, o resultado será: g(-7/3) = 3*(-7/3) + 4 = -3 (valor menor que zero).


Agora no "Quadro de Sinais" (veja a quinta imagem abaixo), observamos que a inequação é ≤ 0 para os valores do intervalo -4/3 < x ≤ 1. Assim, a solução é:
S = { x ∈ R / -4/3 < x ≤ 1}.

Obs.: Nesse caso, x não pode ser ≥ -4/3, pois quando x é igual a -4/3 o denominador zera não pode haver divisão por 0.