Question

Resolva as inequações (preciso dos gráficos com os intervalos)

a) 1∠x²≤4
b) (2x²-5x).(2+x-x²)∠0

Answer 1

- --Vamos lá.

Tem-se as seguintes inequações:

a)

1 < x² ≤ 4 ---- veja que poderemos transformar esta única desigualdade em duas, cada uma com a seguinte conformação:

x² > 1    . (I)
e
x² ≤ 4    . (II)

a.i) Vamos desenvolver a expressão (I), que é esta:

x² > 1
x > +- √(1) ------ como √(1) = 1, teremos:
x > +- 1 ----- veja que isto significa que:

x < -1 , ou x > 1 ------- Então este é o intervalo do domínio da 1ª inequação.

a.ii) Vamos desenvolver a expressão (II), que é esta:

x² ≤ 4
x ≤ +- √(4) ------- como √(4) = 2, teremos:
x ≤ +- 2 ----------- note que isto significa que

- 2 ≤ x ≤ 2 ------ Este é o intervalo do domínio da 2ª inequação.

a.iii) Agora faremos o seguinte: marcaremos com o símbolo / / / / /  para o que vai valer para cada uma das inequações e marcaremos com o símbolo | | | | | | | para a intersecção entre o que vale para cada uma das inequações. E será essa intersecção a resposta da inequação original.
Assim, teremos:

a) x < -1 ou x > 1 ... / / / / / /  (-1) . . . . . . (1) / / / / / / / / / /
b) -2 ≤ x ≤ 2 . . . . . .(-2)/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / (2). . . . . . . . .
c) Intersecção. . . . (-2)| | | | (-1) . . . . . . (1)| | |  | | | | |(2). . . . . . . . .

Como você viu, a intersecção ficou entre "-2" e "-1" e entre "1" e "2".
Assim, o domínio da inequação original [1 < x² ≤ 4] será:

-2 ≤ x < -1 , ou:  1 < x ≤ 2

Aí você poderá perguntar: e porque com o "-2" e o "2" há sinal de maior ou igual e menor ou igual. Contudo, com o "-1" e o "1" há apenas o sinal de menor ou de maior?
Resposta: porque a inequação original afirma que 1 < x² ≤ 4 ---- veja: como, em relação ao "1" só há o sinal de maior (o que, no resultado final, encontramos que x < -1 ou x > 1), então é por isso que, em relação ao "-1" e ao "1" o sinal será apenas de maior ou de menor. Já em relação ao "-2" e ao "2", o fato de haver sinal de "≤" ou de "≥" dá-se porque a inequação original afirma que: x²≤4, o que dá, como resultado que: -2 ≤ x ≤ 2.

Se quiser, o domínio da inequação original poderá ser apresentado assim, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ R | -2 ≤ x < -1 , ou:  1 < x ≤ 2}

Ou assim, o que significa o mesmo:

D = [-2; -1) ∪ (1; 2]

b) (2x²-5x).(2+x-x²) < 0

Veja: aqui temos uma inequação-produto, cujo resultado deverá ser MENOR do que zero (negativo), constituído de duas funções do 2º grau, que são
f(x) = 2x²-5x e g(x) = -x²+x+2.

Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações. Depois, em função de suas raízes, iremos encontrar a variação de sinais de cada uma delas. E, finalmente, daremos o domínio da inequação-produto original.
Assim:

f(x) = 2x²-5x ---> raízes: 2x²-5x = 0 ---> x' = 0; x'' = 5/2.
g(x) = -x²+x+2 ---> raízes: -x²+x+2 = 0 ---> x' = -1; x'' = 2.

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma das equações, em função de suas raízes. Logo:

a) f(x) = 2x²-5x ...+ + + + + + + + + + (0)- - - - - - - - - - - (5/2)+ + + + + + + +
b) g(x)=-x²+x+2..- - - - - (-1)+ + + + + + + + + (2)- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
c) a*b . . . . . . . .- - - - - -(-1)+ + + + + (0)- - - - (2)+ + + +(5/2)- - - - - - - - - - - 

Como queremos que f(x)*g(x) seja MENOR do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MENOS no item "c" acima, que nos fornece o resultado do produto entre f(x) e g(x). Assim, o domínio da inequação serão os seguintes intervalos:

x < -1, ou: 0 < x < 2, ou: x > 5/2  ---- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o domínio assim:

D = {x ∈ R | x < -1, ou: 0 < x < 2, ou: x > 5/2}

Ou ainda, também se quiser, o domínio poderá ser apresentado do seguinte modo, o que significa o mesmo:

D = (-∞; -1) ∪ (0; 2) ∪ (5/2; +∞) .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.