Question

RESOLVA AS INEQUAÇÕES, POR FAVOOOOOR!!! A) X+3/X+4 ≤ X+1/X+2 B) 1/X-1 + 2/X-2 + 3/X-3 < 0

Answer 1

a)

$\mathsf{\dfrac{x+3}{x+4}\le\dfrac{x+1}{x+2}}\\\mathsf{\dfrac{x+3}{x+4}-\dfrac{x+1}{x+2}\le0}$

$\mathsf{\dfrac{(x+3)(x+2)-(x+1)(x+4)}{(x+4)(x+2)}\le0}$

$\mathsf{\dfrac{x^2+5x+6-(x^2+5x+4)}{(x+4)(x+2)}\le0}\\\mathsf{\dfrac{x^2+5x+6-x^2-5x-4}{(x+4)(x+2)}\le0}$

$\mathsf{\dfrac{2}{(x+4)(x+2)}\le0}$

Vamos interpretar cada parcela da inequação quociente como uma função tendo o cuidado de deixar os intervalos abertos nas raízes do denominador a fim de evitar o absurdo da divisão por zero.

$\mathsf{f(x)=2}$

Aqui essa função será positiva para qualquer x real além não possuir raíz.

$\mathsf{g(x)=x+4}\\\mathsf{g(x)=0\to~x=-4}\\\mathsf{g(x)>0\to~x>-4}\\\mathsf{g(x)\textless0\to~x\textless-4}$

$\mathsf{h(x)=x+2}\\\mathsf{h(x)=0\to~x=-2}\\\mathsf{h(x)>0\to~x>-2}\\\mathsf{h(x)\textless0\to~x\textless-2}$

Montando um quadro sinal temos:

-4| -2|

f(x) ++++++++++|++++++±+++++|+++++++++++++

g(x) ––––––--–|++++++++++++|+++++++++++++

h(x) –––––––--|–––––––––--|+++++++++++++

S ++++++++++|–––––––––--|+++±+++++++++

O intervalo que nos interessa é negativo pois a inequação pede os valores de x para que se tenha $\mathsf{\dfrac{2}{(x+4)(x+2)}\le0}$.

Portanto

$\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{s=\{x\in\mathbb{R}/-4\textless~x\textless-2\}}}}}}$

b)

$\mathsf{\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{3}{x-3}\textless0}\\\mathsf{\dfrac{(x-2)(x-3)+2(x-1)(x-3)+3(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}\textless0}$

$\mathsf{\dfrac{x^2-5x+6+2(x^2-4x+3)+3(x^2-3x+2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}\textless0}\\\mathsf{\dfrac{x^2-5x+6+2x^2-8x+6+3x^2-9x+6}{(x-1)(x-2)(x-3)}}$

$\mathsf{\dfrac{6x^2-22x+18}{(x-1)(x-2)(x-3)}\textless0}$

Vamos interpretar cada parcela da inequação quociente como uma função, realizar o estudo do sinal para cada uma, montar um quadro sinal e assinalar a resposta.

$\mathsf{f(x)=6x^2-22x+18}\\\mathsf{f(x) =0} \\\mathsf{ \to x=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}~ou~x=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}}$

$\mathsf{f(x)>0}\\\mathsf{\to~x\textless\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}~ou~x>\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}}$

$\mathsf{f(x)\textless0}\\\mathsf{\to~ \dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\textless~x\textless\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}}$

$\mathsf{g(x)=x-1}\\\mathsf{g(x)=0\to~x=1}\\\mathsf{g(x)>0\to~x>1}\\\mathsf{g(x)\textless0\to~x\textless1}$

$\mathsf{h(x)=x-2}\\\mathsf{h(x)=0\to~x=2}\\\mathsf{h(x)>0\to~x>2}\\\mathsf{h(x)\textless0\to~x\textless2}$

$\mathsf{i(x)=x-3}\\\mathsf{i(x)=0\to~x=3}\\\mathsf{i(x)>0\to~x>3}\\\mathsf{i(x)\textless0\to~x\textless3}$

Montando o quadro sinal temos

1. | (11-√13)/6. | 2 | (11+√13)/6| 3|

f(x) +++++|+++++++++++|–––––|––––––– |+++++++

g(x) ––––-|+++++++++++|++++++|+++++++++|+++++++

h(x) ––––-|–––––––––|++++++|+++++++++|+++++++

i(x) –––––|––––––––--|–––––|–––––––-|–––|+++

S ––––-|+++++++++++|++++++|+++++++++|------|+++

O intervalo que nos interessa é negativo portanto

$\mathsf{s=\{x\in\mathbb{R}/x\textless1~ou~\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}\textless~x\textless3\}}$