Question

resolva as inequações em R.

a)(3x²-10x+7) (-x²+4x)≥0

alguém me ajuda por favor?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Carine, que a resolução é simples.
Tem-se a seguinte inequação-produto:

(3x²-10x+7) * (-x²+4x) ≥ 0 ------ (observação: o símbolo " * " significa vezes). 

Veja: temos aí em cima uma inequação-produto constituída por duas equações do 2º grau, cujo resultado terá que ser MAIOR ou IGUAL a zero.
Temos f(x) = 3x²-10x+7 e g(x) = -x²+4x.
Faremos o seguinte: encontramos as raízes de cada uma das equações acima e depois, em função de suas raízes, analisaremos a variação de sinais de cada uma delas. Após essa análise veremos como se comportam os sinais do produto das duas equações.
Assim teremos:

f(x) = 3x²-10x+7 ---> raízes: 3x²-10x+7 = 0 ---> x' = 1; e x'' = 7/3
g(x) = -x²+4x ---> raízes: -x²+4x ---> x' = 0; e x'' = 4.

Agora como já temos as raízes de cada uma das equações, vamos analisar a variação de sinais. Assim:

a) f(x) = 3x²-10x+7..+ + + + + + + + + + + (1)- - - - - -(7/3)+ + + + + + + + + +
b) g(x) = - x² + 4x ..- - - - - (0)+ + + + + + + + + + + + + + + + + (4)- - - - - - -
c) a * b . . . . . . . . - - - - --- (0)+ + + + + + +(1)- - - - - (7/3)+ + + (4) - - - - - - -

Como queremos que o produto entre f(x) e g(x) seja MAIOR ou IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS ou é IGUAL a zero no item "c" acima, que nos fornece o resultado da inequação-produto f(x)*g(x) ≥ 0.
Assim, os intervalos que dão a resposta para a inequação-produto da sua questão serão estes:

0 ≤ x ≤ 1 , ou 7/3 ≤ x ≤ 4

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1 , ou 7/3 ≤ x ≤ 4}

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser expresso do seguinte modo, o que dá no mesmo:

S = [0; 1] ∪ [7/3; 4] .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.