Question

Resolva as inequações a seguir |x-2 | + |x -1|> 1

Answer 1

Considerando $x-1=k$, podemos reescrever a inequação como:

$|k-1|+|k|>1$

Como ambos os lados da inequação definitivamente não são negativos, podemos elevá-los ao quadrado, ficando com:

$(|k-1|+|k|)^2>1^2$

$|k-1|^2+|k|^2+2|k-1||k|>1^2$

Sabendo que, para qualquer número real $n$, $|n|^2=n^2$, ficamos com:

$(k-1)^2+k^2+2|k-1||k|>1$

$k^2-2k+1+k^2+2|k(k-1)|>1$

$2k^2-2k+1-1+2|k(k-1)|>0$

$2k^2-2k+2|k(k-1)|>0$

Dividindo ambos os lados da inequação por 2:

$k^2-k+|k(k-1)|>0$

$k(k-1)+|k(k-1)|>0$

Considerando agora $k(k-1)=t$, ficamos com:

$t+|t|>0$

$|t|>-t$

A solução da inequação acima é $t>0$. Substituindo $t$, ficamos com:

$k(k-1)>0$

$k^2-k>0$

Sendo a inequação acima do 2º grau, devemos realizar um estudo do sinal. Pelo fato do coeficiente do termo de maior grau ser positivo, $k^2-k$ pode ser representado graficamente como uma parábola de concavidade voltada para cima.

Sendo 0 e 1 as raízes desse polinômio, no intervalo (0, 1), $k^2-k$ é negativo. Como queremos o contrário disso, ficamos com $k<0$ ou $k>1$. Basta agora substituir $k$ por $x-1$:

$k<0\text{ ou }k>1$

$x-1<0\text{ ou }x-1>1$

$x<1\text{ ou }x>2$