Question

RESOLVA AS EQUECÕES EXPOTENCIAS

c) 52^x-1=1
d) 4^x-12.2^x=-32

Answer 1

$\text{c) }52^{x-1}=1\\ \\ 52^{x-1}=52^{0}$

Na útlima linha acima, temos uma igualdade entre potências de mesma base. Sendo assim, basta igualar os expoentes:

$x-1=0\\ \\ x=1$

O conjunto solução é

$S=\{1\}$


$\text{d) }4^{x}-12\cdot 2^{x}=-32\\ \\ (2^{2})^{x}-12\cdot 2^{x}=-32\\ \\ 2^{2x}-12\cdot 2^{x}=-32\\ \\ (2^{x})^{2}-12\cdot 2^{x}=-32$


Fazendo uma mundança de variável,

$t=2^{x};\;\;\;(t>0)$

temos

$t^{2}-12t=-32\\ \\ t^{2}-12t+32=0\;\;\;\;\;\Rightarrow\;\;a=1;\;b=-12;\;c=32\\ \\ \Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=(-12)^{2}-4\cdot 1\cdot 32\\ \\ \Delta=144-128\\ \\ \Delta=16\\ \\ \\ \\ t=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ \\ t=\dfrac{-(-12)\pm \sqrt{16}}{2\cdot 1}\\ \\ \\ t=\dfrac{12\pm 4}{2}\\ \\ \\ \begin{array}{rcl} t=\dfrac{12-4}{2}&\;\text{ ou }\;&t=\dfrac{12+4}{2}\\ \\ t=\dfrac{8}{2}&\;\text{ ou }\;&t=\dfrac{16}{2}\\ \\ t=4&\;\text{ ou }\;&t=8 \end{array}$


Substituindo de volta para a variável $x,$

$\begin{array}{rcl} 2^{x}=4&\;\text{ ou }\;&2^{x}=8\\ \\ 2^{x}=2^{2}&\;\text{ ou }\;&2^{x}=2^{3}\\ \\ x=2&\;\text{ ou }\;&x=3 \end{array}$


O conjunto solução é

$S=\{2;\,3\}$