Question

Resolva as equações trigonométricas:

$\mathsf{cos(x) = cos(x + \frac{\pi}{3})} \\ \\ \mathsf{cox(3x) = cos(x)}$

Answer 1

Boa tarde, Guipocas.


Vou utilizar as relações de Prostaférese. É uma parte bem útil para transformar somas/subtrações em produtos.

Nos seus exercícios temos envolvidos cossenos, e a fórmula de prostaférese usada nesse caso é:

$\diamond \ \mathsf{cos(p) -cos(q) = -2\cdot sen\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\cdot sen\left(\dfrac{p-q}{2}\right)}$


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Vamos à resolução:


a) Passemos o cosseno da direita para o primeiro membro:

$\mathsf{cos(x) - cos(x+\frac\pi3)=0}$

Aplicamos a fórmula de transformação em produto:

$\mathsf{-2sen\left(\dfrac{x + x + \frac{\pi}{3}}{2}\right)\cdot sen\left(\dfrac{x-x-\frac{\pi}{3}}{2}\right)=0}\\ \\ \\ \mathsf{sen(x + \frac{\pi}{6})\cdot sen(-\frac{\pi}{6}) =0 }\\ \\ \mathsf{-sen(x + \frac{\pi}{6})\cdot \dfrac{1}{2} = 0}\\ \\ \mathsf{sen(x + \frac{\pi}{6})=0\iff} \mathsf{x + \frac{\pi}{6}=k\pi, \ \ k\in}\mathbb{Z}\\ \\ \boxed{\mathsf{x = -\frac{\pi}{6} + k\pi}}$

b) Seguimos o mesmo raciocínio do exercício anterior:

$\mathsf{cos(3x)=cos(x)}\\ \\\mathsf{cos(3x)-cos(x) = 0}\\ \\ \mathsf{-2 sen\left(\dfrac{3x + x}{2}\right)sen\left(\dfrac{3x-x}{2}\right)=0}\\ \\ \mathsf{sen(2x)\ sen(x) = 0}$

Pela propriedade do produto nulo, temos:

$\mathsf{sen(2x)=0} \ \ \ \vee \ \ \ \mathsf{sen(x)=0}\\ \\ \mathsf{2x=k\pi} \ \ \ \vee \ \ \ \mathsf{x = k\pi}\\ \\ \mathsf{x = \dfrac{k\pi}{2}} \ \ \ \vee \ \ \ \mathsf{x = k\pi}$

Note, porém, que a segunda solução está contida na primeira, então, a solução geral é:

$\boxed{\mathsf{x=\dfrac{k\pi}{2}}, \ \ \ k\in\mathbb{Z}}$