Question

Resolva as equações seguintes, considerando U=[0,2pi[:
a)cos² x-sen² x=0
b) cos²x+2-3.sen²x=0

Answer 1

a)
cos² x - sen² x = 0

Sabemos que:

sen²x + cos²x = 1
sen²x = 1 - cos²x                    

Substituindo na equação dada, temos:

cos² x - sen² x = 0
cos²x - (1 - cos²x) = 0
cos²x - 1 + cos²x = 0
2cos²x = 1
cos²x = 1/2
cosx = +-√1/2 → +-√2/2 , portanto x = 45º ou π/4 no quadrante positivo e x = 225º ou 5π/4 no quadrante negativo.

Substituindo na equação geral:

sen²x + cos²x = 1
sen²x + 1/2 = 1
sen²x = 1 - 1/2
sen²x = 1/2
senx = +-√1/2 → +-√2/2 , portanto x = 45º ou π/4 no quadrante positivo ou x = 315º ou 7π/4

B)

cos²x + 2 - 3.sen²x = 0
cos²x - 3sen²x = -2

Sabemos que:

sen²x + cos²x = 1
cos²x = 1 - sen²x                    

Substituindo na equação dada, temos:

cos²x - 3sen²x = -2
1 - sen²x - 3sen²x = -2
-sen²x - 3sen²x = -2 - 1
-4sen²x = -3
sen²x = 3/4
senx = +- √(3/4) → senx = +-√3/2 , portanto x = 60º ou π/3 no quadrante positivo e x = 240º ou 4π/3 no quadrante negativo.

Substituindo na equação geral:

sen²x + cos²x = 1
3/4 + cos²x = 1
cos²x = 1 - 3/4
sen²x = 1/4
senx = +-√(1/4) → +-1/2 , portanto x = 30º ou π/6 no quadrante positivo ou x = 210º ou 7π/6 no quadrante negativo.

Fonte do círculo trigonométrico:
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm