Question

resolva as equações reduzindo as a
equações fundamentais.
a) Sen (4x)=Sen (2x)
b) Sen (x)=-Sen (x)
c) Sen (-x+ π/6)=1/2
quem saber resolva todas 100pts.
não responda não sei.

Answer 1

a) $\mathrm{sen\,}4x=\mathrm{sen\,}2x$

Utilizando a identidade do seno do arco duplo

$\mathrm{sen\,}2\alpha=2\mathrm{\,sen\,}\alpha\cos \alpha$

no lado esquerdo da equação, temos


$2\mathrm{\,sen\,}2x\cos 2x=\mathrm{sen\,}2x$


Temos duas possibilidades:

$\bullet\;\;\mathrm{sen\,}2x=0\\ \\ \mathrm{sen\,}2x=\mathrm{sen\,}0\\ \\ 2x=0+k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;2x=\pi+k\cdot 2\pi\\ \\ \boxed{x=0+k\cdot \pi\;\;\text{ ou }\;\;x=\dfrac{\pi}{2}+k\cdot \pi}$

onde $k \in \mathbb{Z}$ (conjunto dos números inteiros)


$\bullet\;\;\mathrm{sen\,}2x\neq 0$

Agora, podemos dividir os dois lados da equação original por $\mathrm{sen\,}2x$, chegando a

$2\cos 2x=1\\ \\ \cos 2x=\dfrac{1}{2}\\ \\ \cos 2x=\cos \dfrac{\pi}{3}\\ \\ 2x=\pm \dfrac{\pi}{3}+k\cdot 2\pi\\ \\ x= \pm \dfrac{\pi}{6}+k \cdot \pi\\ \\ \boxed{x=\dfrac{\pi}{6}+k \cdot \pi\;\;\text{ ou }\;\;x=-\dfrac{\pi}{6}+k \cdot \pi}$

onde $k \in \mathbb{Z}$.


A solução da equação é a união de todas as soluções das duas possibilidades acima.


b) $\mathrm{sen\,}x=-\mathrm{sen\,}x$

$\mathrm{sen\,}x+\mathrm{sen\,}x=0\\ \\ 2\mathrm{\,sen\,}x=0\\ \\ \mathrm{sen\,}x=0\\ \\ \mathrm{sen\,}x=\mathrm{sen\,}0\\ \\ \boxed{x=0+k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;x=\pi+k\cdot 2\pi}$

onde $k \in \mathbb{Z}$.


c) $\mathrm{sen}\left(-x+\dfrac{\pi}{6} \right )=\dfrac{1}{2}$

$\mathrm{sen}\left(-x+\dfrac{\pi}{6} \right )=\mathrm{sen\,}\dfrac{\pi}{6}\\ \\ -x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;-x+\dfrac{\pi}{6}=\left(\pi-\dfrac{\pi}{6} \right )+k\cdot 2\pi\\ \\ -x=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;-x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi\\ \\ -x=0+k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;-x=\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi\\ \\ -x=0+k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;-x=\dfrac{4\pi}{6}+k\cdot 2\pi\\ \\ -x=0+k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;-x=\dfrac{2\pi}{3}+k\cdot 2\pi\\ \\ x=0-k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;x=-\dfrac{2\pi}{3}-k\cdot 2\pi$

como $k$ é um inteiro qualquer, podemos fazer a troca

$-k=n$

e ficamos com

$\boxed{x=0+n\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;x=-\dfrac{2\pi}{3}+n\cdot 2\pi}$

onde $n \in \mathbb{Z}$.

Answer 2

Resposta:

a) 

Utilizando a identidade do seno do arco duplo

no lado esquerdo da equação, temos

Temos duas possibilidades:

onde  (conjunto dos números inteiros)

Agora, podemos dividir os dois lados da equação original por , chegando a

onde .

A solução da equação é a união de todas as soluções das duas possibilidades acima.

b) 

onde .

c) 

como  é um inteiro qualquer, podemos fazer a troca

e ficamos com

onde .

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