Question

Resolva as equações para 0 a) 2.sen²x+senx-1=0
b) 2.cos²x-√3.cosx=0
c) 4.cosx=3.secx=8

Answer 1

Para a equação ficar mais usual, tente manipulá-la de forma que fique apenas com uma função trigonométrica e chame essa função por uma letra. Farei isso a seguir.

a) Como toda a equação está função apenas de $\text{sen}x$, podemos chamar esse termo de $y$, por exemplo. Assim:
$2y^2+y-1=0$, que é uma equação do segundo grau. Usando Bhaskara:
$y=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot2\cdot(-1)}}{2\cdot2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{9}}{4} \\ \\ y=\dfrac{-1\pm3}{2}\Longrightarrow y_1=1,~~y_2=-2$
Voltando a $\text{sen}x$, teremos:
$\text{sen}x_1=1\Longrightarrow \boxed{x_1=\dfrac{\pi}{2}} \\\\ \text{sen}x_2=-2\Longrightarrow \text{Impossivel, pois sen}x\in[-1,1]$

Então:
$S=\{\dfrac{\pi}{2}\}$


b) Como toda a equação está função apenas de $\text{cos}x$, podemos chamar esse termo de $y$, por exemplo. Assim:

$2y^2+\sqrt{3}y=0\Longrightarrow y(2y+\sqrt{3})=0 \\ \\ \Longrightarrow y_1=0\\ 2y_2+\sqrt{3}=0\Longrightarrow y_2=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Voltando a $\text{cos}x$, teremos:
$\text{cos}x_1=0\Longrightarrow \boxed{x_1=\dfrac{\pi}{2}}~~ou~~\boxed{x_1=\dfrac{3\pi}{2}} \\\\ \text{cos}x_2=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Longrightarrow \boxed{x_2=\dfrac{5\pi}{6}}~~ou~~\boxed{x_2=\dfrac{7\pi}{6}}$

Então:
$S=\{\dfrac{\pi}{2},\dfrac{5\pi}{6},\dfrac{7\pi}{6},\dfrac{3\pi}{2}\}$


c) Primeiramente, devemos saber que $\text{sec}x=\dfrac{1}{\text{cos}x}$. Substituindo na equação inicial, vemos que ficará em função apenas de $\text{cos}x$. Chamando esse termo de $y<span>$, por exemplo, temos:

$4y+\dfrac{3}{y}=8\Longrightarrow 4y^2+3=8y \\ 4y^2-8y+3=0<span>$

Usando a fórmula de Bhaskara:

$y=\dfrac{8\pm\sqrt{8^2-4\cdot4\cdot3}}{2\cdot4}=\dfrac{8\pm\sqrt{16}}{8}=\dfrac{8\pm4}{8} \\ \\ y_1=\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}=1,5~~~~y_2=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$

Voltando a $\text{cos}x$, teremos:
$\text{cos}x_1=1,5\Longrightarrow \text{Impossivel, pois cos}x\in[-1,1] \\\\ \text{cos}x_2=\dfrac{1}{2}\Longrightarrow \boxed{x_2=\dfrac{\pi}{3}}$

Então:
$S=\{\dfrac{\pi}{3}\}<span>$