Matemática, perguntado por ronaldferreirafamily, 5 meses atrás

Resolva as equações no conjunto dos números reais.
Pra hoje quem puder ajudar

A) ${3}^{x - 8} = 27$

B) ${3}^{x2 + x} = 9$

Soluções para a tarefa

Respondido por alissonsiv

Aplicando as propriedades da potenciação, encontramos que os conjuntos solução das questões são:

A) S = {11}.

B) S = {-2, 1}

O assunto abordado no exercício é equações exponenciais.

Equações exponenciais

Equações exponenciais são equações em que há pelo menos uma incógnita em um dos expoentes.

Para resolver questões do assunto, é preciso dominar as propriedades da potenciação.

Há diversas propriedades, mas neste exercício utilizaremos uma em específico. A propriedade que usaremos afirma que, se duas potências possuem a mesma base e são iguais, então seus expoentes também são.

Por exemplo:

$3^{x} = 3^{y}$

Note que a base das potências são a mesma. Portanto, para a igualdade ser verdadeira, os expoentes também devem ser iguais, logo x = y.

Obs: esta propriedade não se aplica quando a base é igual a 0 ou 1, pois 0 elevado a qualquer número (com exceção do próprio 0) é 0, assim como o 1 elevado a qualquer número é 1.

Resolução do exercício

A) Primeiramente iremos transformar o 27 em uma potência de base 3:

$3^{x-8} = 27\\3^{x-8} = 3^{3}$

Como as potências possuem a mesma base, para a igualdade ser verdadeira, x - 8 deve se igual a 3, conforme vimos acima.

$3^{x-8} = 3^{3} \\x - 8 = 3\\x = 3 + 8\\\boxed{x = 11}$

O conjunto solução da questão A é S = {11}.

B) Vamos repetir o mesmo processo transformando o 9 em uma potência de base 3:

$3^{x^{2}+ x } = 9\\3^{x^{2}+ x } = 3^{2}$

Agora vamos aplicar a propriedade:

$3^{x^{2}+ x } = 3^{2}\\x^{2} + x = 2\\x^{2} + x - 2 = 0$

Note que formamos uma equação do 2º grau. Para resolvê-la, utilizaremos a fórmula de Bhaskara, dada por:

$x = \dfrac{-b \pm\sqrt{\Delta} }{2a}\\\\\\Em~que~\Delta = b^{2} - 4ac$

Os coeficientes da equação são:

a = 1
b = 1
c = -2

Calculando o valor de Δ:

$\Delta = b^{2} - 4ac\\\Delta = 1^{2} - 4 . 1 . (-2)\\\Delta = 1 + 8\\\Delta = 9$

Substituindo os valores na fórmula de Bhaskara:

$x = \dfrac{-b \pm\sqrt{\Delta} }{2a}\\\\\\x = \dfrac{-1 \pm\sqrt{9} }{2 . 1} \\\\\\x = \dfrac{-1 \pm 3}{2} \\\\\\\\x_{1} = \dfrac{-1+3}{2} \\\\\\x_{1} = \dfrac{2}{2} \\\\\\\boxed{x_{1} =1}\\\\\\x_{2} = \dfrac{-1-3}{2} \\\\\\x_{2} = \dfrac{-4}{2}\\\\\\\boxed{x_{2} = -2}$