Question

Resolva as equações irracionais, sendo U=R. (Não esqueça de fazer a verificação).

Answer 1

Após as resoluções concluímos que:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ c) \quad S = \{ 5\} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d) \quad S = \{ -4, 9 \} } }$

A equação irracional quando há uma variável no radicando de uma raiz.

Exemplos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \bullet \quad \sqrt{x + 5} = 3 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \bullet \quad \sqrt{x^2+ 25} = 4 } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ c) \: \: \sqrt{x + \sqrt{x - 1} } = \sqrt{7} } }$

Resolução:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt{x + \sqrt{x - 1} } = \sqrt{7} } }$

Elevar os dois membros ao quadrado e para eliminar a raiz.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \left(\sqrt{x + \sqrt{x - 1} } \right)^2 = \left( \sqrt{7} \right)^2 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x + \sqrt{x- 1} = 7 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \left( \sqrt{x-1} \right)^2 = ( 7 -x )^2 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x - 1 = 49 -14x + x^{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} -14 -x + 49 + 1 = 0 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} - 15 x + 50 = 0 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ (x -5) \cdot (x-10) = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x - 5 = 0 \Rightarrow x_1 = 5 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x - 10 = 0 \Rightarrow x_2 = 10}$

Verificando se a solução:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt{x + \sqrt{x - 1} } = \sqrt{7} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt{5 + \sqrt{5 - 1} } = \sqrt{7} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt{5 + \sqrt{4} } = \sqrt{7} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt{5 + 2 } = \sqrt{7} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sqrt{7} = \sqrt{7} \gets Verdadeira }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt{x + \sqrt{x - 1} } = \sqrt{7} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt{10 + \sqrt{10 - 1} } = \sqrt{7} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt{10 + \sqrt{9} } = \sqrt{7} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt{10 +3 } = \sqrt{7} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sqrt{13} = \sqrt{7} \gets Falsa }$

Para a equação irracional, o valor de x é 5.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d) \:\:\sqrt{x\cdot (x-5)} =6 } }$

Resolução:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt{x\cdot (x-5)} =6 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \left( \sqrt{x\cdot (x-5)} \right)^2 = 6^{2} } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x \cdot (x-5) = 36 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} -5x - 36 = 0 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ (x -9) \cdot (x +4) = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x - 9 = 0 \Rightarrow x_1 = 9 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x +4 = 0 \Rightarrow x_1 = -4 }$

Verificando se a solução:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt{x\cdot (x-5)} =6 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt{9 \cdot (9-5)} =6 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt{9 \cdot 4} =6 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt{36} =6 } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf 6 = 6 \gets Verdadeira }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt{x\cdot (x-5)} =6 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt{-4\cdot (-4-5)} =6 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt{-4\cdot (-9)} =6 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt{36} =6 } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf 6 = 6 \gets Verdadeira }$

Para a equação irracional, o valor de x é - 4 e 9.

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