Question

Resolva as equações irracionais:

a)
$\sqrt{x - \sqrt{x + 2 = 2 } }$
b)
$\sqrt{2 + \sqrt{x = \sqrt{7} } }$
c)
$\sqrt{7 + \sqrt{x + 1 = 3} }$
O número 3 está fora da raiz

Answer 1

Primeira equação

$\sqrt{x-\sqrt{x+2}}=2$

Quadrando essa expressão obtemos uma equação equivalente.

$\sqrt{x-\sqrt{x+2}}=2~\Leftrightarrow~x-\sqrt{x+2}=4~\Leftrightarrow~x-4=\sqrt{x+2}$

Aqui, ao quadrarmos a equação, devemos garantir x - 4 ≥ 0, ou seja, x ≥ 4 é condição necessária para que haja uma equivalência.

$x-4=\sqrt{x+2}~\Leftrightarrow~((x-4)^2=x+2~~\wedge~~x \geqslant4)\\\\x^2-8x+16=x+2~~\wedge~~x\geqslant 4\\\\x^2-9x+14=0~~\wedge~~x\geqslant 4\\\\\Delta=(-9)^2-4\cdot1\cdot14=81-56=25~\Longrightarrow~\sqrt{\Delta}=5~\Longrightarrow\\\\\Longrightarrow~x=\dfrac{9\pm5}{2}\\\\x=2~(n\~ao~conv\'em)~~\lor~x=7\\\\S=\{7\}$

Segunda equação

$\sqrt{2+\sqrt{x}}=\sqrt{7}$

Quadrando essa equação obtemos uma equação equivalente.

$\sqrt{2+\sqrt{x}}=\sqrt{7}~\Leftrightarrow~2+\sqrt{x}=7~\Leftrightarrow~\sqrt{x}=5~\Leftrightarrow~x=25\\\\S=\{25\}$

Terceira equação

$\sqrt{7+\sqrt{x+1}}=3$

Quadrando essa equação obtemos uma equação equivalente.

$\sqrt{7+\sqrt{x+1}}=3~\Leftrightarrow~7+\sqrt{x+1}=9~\Leftrightarrow~\sqrt{x+1}=2\\\\\Leftrightarrow~x+1=4~\Leftrightarrow~x=3\\\\S=\{3\}$